Совершенность канторового множества

[gosetrov]

Пусть $x\in C$ тогда $x$ предельная точка $C$
Док-во: Т.к. $x\in C \Rightarrow x \in C_0$ тогда отбросив из него среднюю треть мы получим точку из $C$(мы знаем что концы отрезков всегда входят в множество) на расстояние не большем чем $1/3$, но $x\in C \Rightarrow x \in C_1$ и когда мы отбросим из него среднюю треть мы получим точку на расстояние не большем чем $(1/3)^2$ и т.д. таким образом мы обнаружим точки из $C$ на расстояние не большем чем $(1/3)^n, \forall n$ и $x$ предельная ч. и т.д.

Подскажите, пожалуйста, корректно ли это доказательство?

[mihaild]

gosetrov в сообщении #1668783 писал(а):

тогда отбросив из него среднюю треть мы получим точку из $C$(мы знаем что концы отрезков всегда входят в множество) на расстояние не большем чем $1/3$

Например саму $x$.

[gosetrov]

Такой шаг мы можем просто пропустить(он может случится только один раз) и дальше продолжить отбрасывать средние трети или вообще начинать построение с шага на котором $x$ появляется(пусть это будет $C_i$ тогда в $C_{i+1}$ найдется точка на расстояние $(1/3)^{i+1}$ и т.д.)

[dgwuqtj]

gosetrov в сообщении #1668792 писал(а):

он может случится только один раз

Это ещё почему? Вот вы берёте точку $x = 0$. Из $C_0$ выбирается $0$, из $C_1$ тоже выбирается $0$, и так далее...

[gosetrov]

dgwuqtj в сообщении #1668795 писал(а):

gosetrov в сообщении #1668792 писал(а):

он может случится только один раз

Это ещё почему? Вот вы берёте точку $x = 0$. Из $C_0$ выбирается $0$, из $C_1$ тоже выбирается $0$, и так далее...

Мы говорили о точках которые оказываются на концах выкинутых интервалов из середины. Точка может оказаться там только один раз, все остальные выкинутые середины будут на расстояние $(1/3)^{i+j}$ от нее(где $i$ это $C_i$ в котором точка оказалась на конце выкинутого интервала, а $j \in\mathbb{N}$).

[dgwuqtj]

Тогда всё в порядке.