Почему у комплексного сигнала несимметричный спектр?

[Kevsh]

Комплексный сигнал $a(t)e^{j\varphi(t)}$ можно представить как $r(t)+j\cdot m(t)$, где $r(t)$ и $m(t)$ - функции, принимающие действительные значения, имеющие симметричный относительно нулевой частоты спектр. При этом $j\cdot m(t)$ можно представить как $m(t)\cdot e^{j\frac{\pi}{2}}$. Видно, что умножение на $e^{j\frac{\pi}{2}}$ влияет только на фазовый спектр $j\cdot m(t)$, то есть амплитудные спектры $m(t)$ и $j\cdot m(t)$ отличаться не должны - просто у $j\cdot m(t)$ должен быть сдвиг у фазового спектра на $\frac{\pi}{2}$.
Выходит, что для того, чтобы у $r(t)+j\cdot m(t)$ был несимметричный относительно нулевой частоты спектр, этот сдвиг фазы должен влиять на знак положительной либо отрицательной части спектра $j\cdot m(t)$ - иначе мы просто сложим два симметричных спектра и получим тоже симметричный спектр.
Вот это влияние фазового сдвига на знак я никак не могу до конца понять. Вот сдвиг на $\pi$ можно представить как умножение на $-1$, а тут как? Фазовый спектр действительного сигнала антисимметричен, а тут проявится просто асимметрия, ведь чтобы он оставался антисимметричным, нужно к положительной и отрицательной частям спектра добавлять фазовый сдвиг с противоположным знаком. Но как это связать с амплитудным спектром...

[Евгений Машеров]

Потому, что спектр чисто мнимого сигнала антисимметричен.

[s4kkkk]

Под спектром обычно понимают либо дискретный (счетный) набор комплексных коэффициентов разложения в ряд Фурье, либо же непрерывную комплекснозначную функцию $F(w)$, являющуюся результатом непрерывного преобразования Фурье для вашего сигнала. Используем разложение в ряд Фурье:

$$ s(t) = a(t) e^{j \varphi(t)} $$

$$ s(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}{C_k e^{j k \omega_0 t}} $$

$$ C_k = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{T_0} {s(t) e^{-jk\omega_0 t}dt} $$

$$ C_k = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{T_0} {a(t) e^{j \varphi(t)} e^{-jk\omega_0 t}dt} $$

$$ C_k = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{T_0} {a(t) e^{j(\varphi(t)-k\omega_0 t)}dt} $$

$$ C_{-k} = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{T_0} {a(t) e^{j(\varphi(t)+k\omega_0 t)}dt} $$

$$ \overline{e^{j(\varphi(t)-k\omega_0)}} = e^{-j(\varphi(t)-k\omega_0)} = e^{j(-\varphi(t)+k\omega_0)} \not = e^{j(\varphi(t)+k\omega_0 t)} $$

То есть, в общем случае для комплексного сигнала не выполняется

$$ C_k = \overline{C_{-k}} $$

. Получается, что спектр комплексного сигнала может быть любым - и симметричным, и не симметричным (если положить $\varphi(t) = 0$, то свойство будет выполняться) Кроме этого, спектры вещественных сигналов, вообще говоря, являются комплексно-сопряженными, а не симметричными (ибо для их коэффициентов выполняется свойство $C_k = \overline{C_{-k}}$)