2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Скобки двух видов
Сообщение01.01.2025, 23:55 
Аватара пользователя
Пусть имеются скобки двух видов, которые ограничивают... что-то, но не важно что именно. То есть, они всегда парные и не перекрёстно вложенные. Имеется ли для этой задачи какая-нибудь развита́я комбинаторика, или всё нужно клепать с нуля?

 
 
 
 Re: Скобки двух видов
Сообщение02.01.2025, 00:53 
Аватара пользователя
Т.е. корректная последовательность - пустая, конкатенация корректных, и корректная, заключенная в один из двух видов скобок?
Тогда начинаем с одного вида скобок - это просто числа Каталана. И дальше меняем произвольный набор пар на второй вид, получаем число Каталана, умноженное на $2^n$.

 
 
 
 Re: Скобки двух видов
Сообщение02.01.2025, 11:41 
Аватара пользователя
Для одного вида скобок есть правильные скобочные последовательности, количество которых, как уже было замечено, равно числам Каталана.

 
 
 
 Re: Скобки двух видов
Сообщение02.01.2025, 12:35 
Разные виды скобок используются только для удобства. На самом деле, закрывающая скобка всегда знает, что именно она закрывает.
Или Вы хотите придать смысл выражению ({)}?

 
 
 
 Re: Скобки двух видов
Сообщение02.01.2025, 20:28 
Аватара пользователя
В этой теме $[()]$ и $([\;])$ — разные выражения.

 
 
 
 Re: Скобки двух видов
Сообщение02.01.2025, 20:43 
Аватара пользователя
Утундрий, так $2^n \cdot C_n$ Вас устраивает?

 
 
 
 Re: Скобки двух видов
Сообщение02.01.2025, 20:46 
Утундрий в сообщении #1668247 писал(а):
В этой теме $[()]$ и $([\;])$ — разные выражения.

Замечание mihaild в силе. Число Каталана $C_2=2$, $C_2\cdot2^1=4$, т.е. $[()]$, $([\;])$, $[]()$ и $()[]$.
Если $n_1$ скобок одного вида и $n_2$ другого, всего получится $\frac{(n_1+n_2)!}{n_1!n_2!}C_{n_1+n_2}$ вариантов.

 
 
 
 Re: Скобки двух видов
Сообщение02.01.2025, 21:20 
$C_2\cdot2^2=8$, т.е. $[()]$, $(())$, $([\;])$, $[[\;]]$, $[\;]()$, $()[\;]$, $()()$,$[\;][\;]$.

 
 
 
 Re: Скобки двух видов
Сообщение02.01.2025, 22:01 
Аватара пользователя
Похоже на то. Берём все расстановки одинаковых скобок, а потом начинаем раскрашивать их попарно в два цвета. Как раз множитель $2^n$ и появляется.

 
 
 
 Re: Скобки двух видов
Сообщение04.01.2025, 09:06 
Утундрий в сообщении #1668247 писал(а):
В этой теме $[()]$ и $([\;])$ — разные выражения.


а зачем они разные?
Скобки нужны, чтобы определить порядок выполнения операций. Иначе почему мы используем скобки, а не точки-тире или буквы латинского алфавита

 
 
 
 Re: Скобки двух видов
Сообщение04.01.2025, 10:26 
Аватара пользователя
Насчёт зачем. Среди множества представлений 2025 в виде чего только не придумали попалось уже год как известное среди любителей нумерологии:
$(e^\pi +\pi^e)^2$ :D

 
 
 
 Re: Скобки двух видов
Сообщение04.01.2025, 11:38 
Аватара пользователя
F111mon в сообщении #1668382 писал(а):
а зачем они разные?
Математики не отвечают на вопрос "зачем".
Задача такая. Довольно стандартная.

 
 
 
 Re: Скобки двух видов
Сообщение04.01.2025, 12:56 
F111mon в сообщении #1668382 писал(а):
а зачем они разные?

В математике и в программировании обычно используют кучу разных скобок: $(\,)\,[\,]\,\{\,\}\,\langle\,\rangle\,\lfloor\,\rfloor\,\lceil\,\rceil\ldots$. Так удобнее. Разумеется, они нужны не только для определения порядка операций.

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group