Функция элементов симметрической группы

[Knight7]

Рассмотрим перестановку $\sigma \in S_n$, где $S_n$ - симметрическая группа, и функцию $n$-переменных $f(\sigma) = f(x_{\sigma(1)}, \dots , x_{\sigma(n)}) \in \mathbb{R}$. Любую перестановку можно разложить в произведение непересекающихся циклов. Для простоты, обозначим $\sigma = c_1 c_2 \dots c_k$, где $k \leq n$ количество циклов на которые распадается $\sigma$ (например для $\sigma = (1 2) (3) (4 5)$ имеем $c_1 = (1 2)$, $c_2 = (3)$, $c_3 = (4 5)$). Теперь положим, что $f(\sigma) = f(c_1) + f(c_2) + \dots + f(c_k)$. Например, если $f(x_1, \dots , x_n) = a_1 x_1 + \dots + a_n x_n$, то, для $a_1 = \dots = a_n = a \in \mathbb{R}$ очевидно, что $f(\sigma)$ распадается на сумму $f$ действующих по отдельности на циклы перестановки.

Вопрос: есть ли особое название у таких функций в контексте теории групп и теории перестановок? Это похоже на гомоморфизм, но не совсем понятно из какой группы в какую.

[dgwuqtj]

Knight7 в сообщении #1667481 писал(а):

Теперь положим, что $f(\sigma) = f(c_1) + f(c_2) + \dots + f(c_k)$. Например, если $f(x_1, \dots , x_n) = a_1 x_1 + \dots + a_n x_n$, то, для $a_1 = \dots = a_n = a \in \mathbb{R}$ очевидно, что $f(\sigma)$ распадается на сумму $f$ действующих по отдельности на циклы перестановки.

Не очевидно. В случае $n = 2$ и $\sigma = \id$ будет $f(\sigma) = f(c_i) = f$, так что равенство не выполнено ни для какого ненулевого многочлена $f$.

Или я не понял формулировку.

[Knight7]

dgwuqtj в сообщении #1667484 писал(а):

Не очевидно. В случае $n = 2$ и $\sigma = \id$ будет $f(\sigma) = f(c_i) = f$, так что равенство не выполнено ни для какого ненулевого многочлена $f$.

В случае $n=2$ есть только две возможных перестановки: $\sigma = (1) (2)$ или $\sigma = (1 2)$. В первом случае:

$$ f ( (1) (2) ) = a x_1 + a x_2 = f( (1) ) + f ( (2) ) $$

(Заметим, что в правой части равенства, обе $f$ - функции одной переменной, что соответствует длине данного цикла).

Во втором, равенство выполняется тривиальным образом: $f ( (1 2) ) = a x_2 + a x_1 = f( (1 2) )$.

[dgwuqtj]

$f$ — это функция из множества всех перестановок на множествах конечных множеств натуральных чисел в $\mathbb R[x_1, x_2, \ldots]$, что ли? То есть она определена на $\bigsqcup_{I \subset \mathbb N \text{ конечное}} \mathrm S_I$?

[Knight7]

dgwuqtj в сообщении #1667492 писал(а):

$f$ — это функция из множества всех перестановок на множествах конечных множеств натуральных чисел в $\mathbb R[x_1, x_2, \ldots]$, что ли? То есть она определена на $\bigsqcup_{I \subset \mathbb N \text{ конечное}} \mathrm S_I$?

Да, похоже это более точное определение. Тут важно, что индексы всех переменных в $f(c_i)$ должны присутствовать в $c_i$. Скажем, в случае $\sigma = (1) (2)$, в цикле $c_2 = (2)$ не присутствует единица, а значит $f(c_2)$ может содержать исключительно $x_2$. Или, например, при перестановке $\sigma = (1) (2 3)$, $f(c_2) = f((2 3)) = f(x_{\sigma(2)}, x_{\sigma(3)}}) = a_2 x_3 + a_3 x_2$, т.е. $f(c_2)$ не содержит $x_1$.

[dgwuqtj]

Хорошо. А может быть так, что $f((1)) = x_1$, $f((2)) = 3 x_2$?

[Knight7]

dgwuqtj в сообщении #1667500 писал(а):

Хорошо. А может быть так, что $f((1)) = x_1$, $f((2)) = 3 x_2$?

Думаю, что да. Ну, как минимум для $n=2$, имеем

$$ f((1) (2)) = f(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}) = f(x_1, x_2) = x_1 + 3 x_2 = f(x_1, \underline{\phantom{x_2}}) + f(\underline{\phantom{x_1}}, x_2) = f((1)) + f((2)) $$

и, тривиальным образом, $f((1 2)) = f(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}) = f(x_2, x_1) = x_2 + 3 x_1$, ибо $\sigma$ состоит из одного цикла. Условие $a_1 = \dots = a_n$ в основном для упрощения записи, и потому, что оно присутствует в физической задаче на которой зиждется данная проблема (более того, дальше можно обобщить свойство разложения $f$ на любую бинарную операцию - например умножение вместо сложения, и не многочленов, а более сложных функций перестановок).

[dgwuqtj]

Тогда у вас многочлены $f(c)$ для циклов $c$ можно выбирать независимо (с единственным ограничением, что переменные в них только с номерами из цикла), а остальные $f(\sigma)$ по ним восстанавливаются однозначно. Какой-то более глубокой структуры я тут не вижу, с умножением перестановок это больше никак не связано. Даже $f((231))$ и $f((312))$ выбираются независимо.