Задача по теории пределов числовой функции

[katzenelenbogen]

Пусть $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Доказать, что

$\lim\limits_{x\to a}^{}f(x)=b \Leftrightarrow \forall\varepsilon>0 \,\exists\delta>0\, \forall x\left\lbrace0<\left\lvert x-a\rvert<\delta\right\Rightarrow \left\lvert f(x) - b \right\rvert<2\varepsilon\right\rbrace .$

Смысл в том, что нужно представить последовательное по шагам правильное, чёткое и понятное объяснение, что в конце можно поставить $2\varepsilon$ вместо $\varepsilon$.

С вашего позволения.
Спасибо.

Upd. Да, не знал, что в подобных случаях по правилам нужно сначала предоставить собственную попытку решения. Её не будет. В одну сторону доказательство очевидное в один шаг, в другую сделать не получалось. Ну и плюс, суть в том, чтобы всё сформулировать, как я написал, по шагам последовательно, правильно, чётко каждый шаг и при этом понятно. Суть моего желания именно в нахождении объяснения, обладающего перечисленными качествами, а не какого-либо, у которого эти качества отстуствуют. Заданный вопрос в своё время обнаружил я полностью сам. Как и тот факт, что с ним не вполне могут справиться находившиеся в своё время вокруг меня.

[Someone]

katzenelenbogen в сообщении #1667370 писал(а):

Пусть $f(x):\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Доказать, что

$\lim\limits_{x\to a}^{}f(x)=b \Leftrightarrow \forall\varepsilon>0 \,\exists\delta>0\, \forall x\left\lbrace0<\left\lvert x-a\rvert<\delta\right\Rightarrow \left\lvert f(x) - b \right\rvert<2\varepsilon\right\rbrace .$

А собственные попытки решения где? По правилам, они должны быть предъявлены.

[drzewo]

(Оффтоп)

Ну, наверное, если студент не учился совсем, пришел на экзамен и ему попался билет с определением предела, и этому студенту удалось списать или воспользоваться подсказкой соседа, то, да, таким вопросом его можно срезать и выгнать с экзамена. Ну или если это, скажем какой-то втуз и там сидят будущие инженеры, которым эта вышка навиг не упала. Трудно придумать ситуацию в которой задавание такого вопроса будет осмысленным

[katzenelenbogen]

Я обнаружил, что с этим не могут справиться почти никто. А на групповых занятиях эта задача за много лет вообще никогда не попадалась.

[skobar]

katzenelenbogen в сообщении #1667370 писал(а):

Заданный вопрос в своё время обнаружил я полностью сам

Поясните, пожалуйста - значит ли это, что вы придумали эту задачку сами? Тогда, очевидно, вы знаете решение, и спрашиваете чтобы приколоться? Или вы все-таки честно не знаете как строго записать решение для этого простого упражнения для школьников?
Я спрашиваю, чтобы понять, стоит ли тратить время на пост с формальным доказательством.

[Dedekind]

skobar в сообщении #1667383 писал(а):

стоит ли тратить время на пост с формальным доказательством

До появления собственных попыток решения точно не стоит.

[katzenelenbogen]

skobar
я вас понял.

"Придумал": я не хотел употреблять слово "придумал". Нашёл. То, что дважды два четырём равно, никто не придумал - это существовало само вне времени и вне зависимости от того, кто это первый обнаружил. То же самое - с мной представленной задачей. Как я её мог придумать? Она была "там" всегда. Я её нашёл, заметил, обнаружил, осознал существование и записал формулировку.

"Очевидно, вы знаете решение": нет, не знаю. Если думаете, что я знаю, пожалуйста, представьте себе человека, который не знает и не может это сделать. Думаю, это легко себе представить.

Простым упражением для школьников, я не уверен, стоит ли это считать. Я не смог за много лет его выполнить.

Если у вас сомнения насчёт траты времени, то я не хочу вас обязывать и не прошу, поскольку не хочу у вас отнимать его. Тут только если у вас есть желание.

[Mihr]

katzenelenbogen в сообщении #1667385 писал(а):

Простым упражением для школьников, я не уверен, стоит ли это считать.

А Вы проведите опрос среди школьников. Задайте им этот самый вопрос. А чтобы им было понятнее, о чём речь, сформулируйте вопрос так: рост малыша Гриши - пока ещё меньше одного метра. Правда ли тогда, что Гриша ещё не дорос до двух метров в высоту?

katzenelenbogen в сообщении #1667385 писал(а):

Я не смог за много лет его выполнить.

Это трудно прокомментировать.

[skobar]

katzenelenbogen в сообщении #1667385 писал(а):

"Придумал": я не хотел употреблять слово "придумал". Нашёл. То, что дважды два четырём равно, никто не придумал - это существовало само вне времени и вне зависимости от того, кто это первый обнаружил. То же самое - с мной представленной задачей. Как я её мог придумать? Она была "там" всегда. Я её нашёл, заметил, обнаружил, осознал существование и записал формулировку.

Понятно. Т.е. вам, как Рамануджану пришла во сне богиня Намаккаль и открыла существование этого удивительного факта. С тех пор вы много лет мучались и безуспешно пытались его доказать. Я бы мог разрешить ваши мучения (как и большинство других участников этого форума), но, согласно правилам форума, только после попытки решить задачу самостоятельно.
Но выход есть - любой продвинутый школьник из физмат школы сможет решить эту проблему для вас.

[katzenelenbogen]

skobar
я же объяснил ситуацию. Что много лет эта вещь не получалась. Описал все обстоятельства.

[Booker48]

katzenelenbogen
Надо всего лишь представить попытку решения. Не получалось, но попытки ведь были, просто приведите любую.

[Someone]

katzenelenbogen в сообщении #1667389 писал(а):

я же объяснил ситуацию. Что много лет эта вещь не получалась. Описал все обстоятельства.

К сожалению, правила требуют предъявления не обстоятельств, а попыток решения. За чем последуют намёки, наводящие вопросы и советы, как преодолеть возникшие многочисленные затруднения. Правила этого раздела вообще запрещают выкладывать готовое решение. Готовое решение можете выложить только Вы, а другого участника за такое накажут. Прецеденты были.

[katzenelenbogen]

Someone
можете порекомендовать другой форум по научно-математической тематике, где такого, как вы написали, и вообще такой обстановки, как здесь, нет? Там я задам этот и последующие свои вопросы.

[drzewo]

Я сейчас запишу решение, хоть это и против правил. И сделаю так потому, что уверен что самый смех начнется именно после появления решения.

Пусть нам дано, что (в обозначениях автора)

$$\forall\varepsilon>0 \,\exists\delta>0\, \forall x\left\lbrace0<\left\lvert x-a\rvert<\delta\right\Rightarrow \left\lvert f(x) - b \right\rvert<2\varepsilon\right\rbrace .\quad(*)$$

Покажем, что $\lim_{x\to a}f(x)=b$. Т.е.

$$\forall \sigma>0\quad\exists \delta>0:\quad 0<|x-a|<\delta\Longrightarrow |f(x)-b|<\sigma.\qquad(**)$$

Зададимся произвольным $\sigma>0$ и положим $\varepsilon:=\sigma/2$. По этому $\varepsilon$ найдем $\delta>0$ как в (*)
Тогда верно и (**)

[Someone]

katzenelenbogen в сообщении #1667394 писал(а):

можете порекомендовать другой форум по научно-математической тематике, где такого, как вы написали, и вообще такой обстановки, как здесь, нет? Там я задам этот и последующие свои вопросы.

К сожалению, я совершенно не интересовался другими математическими форумами. Меня этот вполне устраивал. Поэтому посоветовать ничего не могу.