Неравенства 12-й степени

[Rak so dna]

Для действительных $a,b,c$ доказать:

$27\left(a+b\right)^4\left(b+c\right)^4\left(c+a\right)^4 \geq 64\left(ab+bc+ca\right)^3\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2$

[Rak so dna]

ForeverHaibara@AoPS нашёл красивое доказательство:

Для $ab+bc+ca<0$ очевидно. Для $ab+bc+ca \geq0$ имеем:

\begin{align*} &\sum{(a-b)^2}\cdot\left(27\prod(a+b)^4-64\left(\sum ab\right)^3\left(\prod (a-b)^2+\prod (a+b)^2\right)\right)\\ &=\sum {\left(b+c\right)^4\left(b-c\right)^2\left(ab+bc+ca-3a^2\right)^2\Bigl( \left(5(ab+bc+ca)+a^2\right)^2+2(a+b)^2(a+c)^2\Bigr)}\\ &+256\left(ab+bc+ca\right)^4\prod{(a-b)^2} \end{align*}

(code)

(a-b)^2*(a+b)^4*(2*(a+c)^2*(b+c)^2+(5*a*b+5*a*c+5*b*c+c^2)^2)*(a*b+a*c+b*c-3*c^2)^2+256*(a-b)^2*(a-c)^2*(b-c)^2*(a*b+a*c+b*c)^4+(a-c)^2*(a+c)^4*(2*(a+b)^2*(b+c)^2+(5*a*b+5*a*c+b^2+5*b*c)^2)*(a*b+a*c-3*b^2+b*c)^2+(b-c)^2*(b+c)^4*(2*(a+b)^2*(a+c)^2+(a^2+5*a*b+5*a*c+5*b*c)^2)*(-3*a^2+a*b+a*c+b*c)^2

[Rak so dna]

My proof:

\scriptsize\begin{align*} &\left(c^2\left(a+b\right)^2+a^2\left(b+c\right)^2+b^2\left(c+a\right)^2\right)\left(27\left(a+b\right)^4\left(b+c\right)^4\left(c+a\right)^4 - 64\left(ab+bc+ca\right)^3\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2\right)\\ &=\sum\limits_{cyc}{\left(a^2-b^2\right)^2\left((a+b)c^5-(14\,a^2+24\,ab+14\,b^2)c^4+(a+b)(a^2-12\,ab+b^2)c^3-2\,ab\left(a+b\right)^2c^2-7\,a^2b^2(a+b)c-4\,a^3b^3\right)^2}\\ &+ 36\left(a+b\right)^4\left(b+c\right)^4\left(c+a\right)^4\left(ab+bc+ca\right)^2 \end{align*}

(maxima code)

f(t) := 27*(a+b)^4*(b+c)^4*(c+a)^4 - 64*(a*b+b*c+c*a)^3*(a-b)^2*(b-c)^2*(c-a)^2 $
r(t) :=
 36*(a+b)^4*(b+c)^4*(c+a)^4*(a*b+b*c+c*a)^2
+ (a^2-b^2)^2*((a+b)*c^5-(14*b^2+24*a*b+14*a^2)*c^4+(a+b)*(a^2-12*a*b+b^2)*c^3-2*a*b*(a+b)^2*c^2-7*a^2*b^2*(a+b)*c-4*a^3*b^3)^2
+ (b^2-c^2)^2*((b+c)*a^5-(14*c^2+24*b*c+14*b^2)*a^4+(b+c)*(b^2-12*b*c+c^2)*a^3-2*b*c*(b+c)^2*a^2-7*b^2*c^2*(b+c)*a-4*b^3*c^3)^2
+ (c^2-a^2)^2*((c+a)*b^5-(14*a^2+24*c*a+14*c^2)*b^4+(c+a)*(c^2-12*c*a+a^2)*b^3-2*c*a*(c+a)^2*b^2-7*c^2*a^2*(c+a)*b-4*c^3*a^3)^2  ;
rat( (c^2*(a+b)^2+a^2*(b+c)^2+b^2*(c+a)^2)*f(t) - r(t) ) ;

[tolstopuz]

Поколдовали с Астрой и совместными усилиями нашли еще одно разложение (почти) в сумму квадратов.

Перепишем условие через симметрические многочлены:

$$27(pq-r)^4\ge64q^3\Delta,$$

где

$$p=a+b+c,$$

$$q=ab+bc+ca\ge0$$

(иначе неравенство очевидно),

$$r=abc,$$

$$\Delta=p^2q^2-4q^3-4p^3r+18pqr-27r^2.$$

Тогда

$$27(pq-r)^4-64q^3\Delta=(16q^3-(pq+3r)(5pq-r))^2+2(pq-r)^2(pq+3r)^2+64q^3(pq-5r)^2+32q^3(pq-r)^2\ge0.$$