Программа по геометрии для математических школ

[katzenelenbogen]

Хотел написать только вопрос, получилось - вопрос и некоторые воспоминания о программе и подготовке к поступлению в вуз в 2000-х годах.

Вопрос насчёт программы по геометрии для спецшкол, а не для общеобразовательных.

Дело и вопрос вот в чём. В своё время я хорошо понимал, что есть спецшколы и общеобразовательные школы. Официальная программа практически совпадала, и программа для поступающих в вузы была одинаковая для всех школ в России. Различия были в сложности и количестве прорабатываемых задач, их глубине и глубине теоретического материала - это я знал. Дальше, было два предмета, "Алгебра и начала анализа" и "Геометрия", и я также знал очень чётко, в чём различие в подходах и в теоретическом материале между общеобразовательным и спецуровнем по алгебре и началу анализу. И отлично знал, какая литература, как теоретическая, так и сборники задач относятся к какому из двух уровней.

А вот по геометрии я этого не знал и не знаю до сих пор. На практике особенность была в том, что для учёбы, как я понял, в большинстве вузов по большинстве специальностей даже с расширенной математической подготовкой, по большому счёту, нужна была больше алгебра и начала анализа действительно на глубоком уровне, а в геометрии было достаточно знать хорошо "на тройку" и не всё. Все эти сложные построения циркулем и линейкой, сложные и редко встречающиеся комбинации и особенности стереометрических тел, редкие формулы для этих тел, задачи с параметрами на наибольшие и наименьшие значения по стереометрии и т.д. - вот это всё было вообще нигде не использоватлось дальше в вузе (не считая всего относящегося к векторам и методу координат, но для этого на 1 курсе всегда был серьёзный курс аналитической геометрии). А вот почти все глубокие и умные темы алгебы и начал анализа такие, как тригонометрические формулы, экспоненты и логарифмы, всё про многочлены, методы неопределённых коэффициентов, исследование функций, задачи на составление уравнений и систем условий и т.д. - вот это всё в полной мере задействовалось, и забыть это было совершенно невозможно по ходу учёбы.

Поэтому, так сложилось, что и в плане программы, и в плане отношения приёмной комиссии, и в плане вариантов олимпиад и экзаменов на практике к геометрии было другое отношение, и я её не сильно проработал.

В общем, я даже не знаю, где вообще находятся, и какие именно книги по геометрии - это для математических классов. И прошу подсказать.

[drzewo]

(Оффтоп)

Школьные задачи методами аналитической геометрии решаются единообразно и регулярно. Поэтому при переходе к аналитической геометрии ничего не теряется , а приобретается очень много. Отсюда и <<вузовское>> отношение к школьной геометрии.

[skobar]

Учился в спецшколе (90-ые годы), по геометрии учебника как такового не было, были только лекции. А вот задачник использовался следующий:

Шарыгин "Задачи по геометрии. Планиметрия" из серии "библиотечка Квант" №17 (есть в сети)

Есть еще шикарная книга для школьников Грейтцер, Коксетер "Новые встречи с геометрией", но в школьной программе она не использовалась, только на факультативах.

На мой взгляд, для школьников хорош ещё задачник Прасолова "Задачи по планиметрии" в двух частях:
https://www.ozon.ru/product/prasolov-v- ... 1735049243

[katzenelenbogen]

drzewo в сообщении #1666945 писал(а):

[off]Школьные задачи методами аналитической геометрии решаются единообразно и регулярно. /off]

В целом - да, и особенно для задач содержательного характера в других сферах математики и в других сферах жизни.
Но, всё равно, не все задачи школы решаются с помощью аналитической геометрии там.

drzewo в сообщении #1666945 писал(а):

Поэтому при переходе к аналитической геометрии ничего не теряется , а приобретается очень много.

Да, не теряется и приобретается много, притом это один из самых простых куросв в вузе и самых удачных.

[drzewo]

katzenelenbogen в сообщении #1666952 писал(а):

не все задачи школы решаются с помощью аналитической геометрии

как-то не подумал, что для ТС мне следовало уточнить, что говоря
<<Школьные задачи методами аналитической геометрии решаются единообразно>>
имеются в виду школьные задачи по геометрии :)

[Padawan]

Задачи на построение циркулем и линейкой методом аналитической геометрии не решаются.

[skobar]

Помню, геометр в школе активно пропагандировал использование векторов при решении задач, т.е. де-факто преподавались элементы методов аналитической геометрии.

[Booker48]

А какая-нибудь теорема Штайнера легко доказывается?
Если в треугольнике две биссектрисы равны, то он равнобедренный.
По-моему, закопаешься в преобразованиях.

[nnosipov]

Booker48 в сообщении #1666959 писал(а):

По-моему, закопаешься в преобразованиях.

Теорема Штейнера-Лемуса доказывается очень легко, если воспользоваться формулой, выражающей квадрат длины биссектрисы через длины сторон треугольника. Никогда не понимал, почему эту теорему считают сложной. Подозреваю, что все сложности с доказательством связаны с желанием именно геометрического доказательства, без какой бы то ни было алгебры.

[drzewo]

Booker48 в сообщении #1666959 писал(а):

А какая-нибудь теорема Штайнера легко доказывается?
Если в треугольнике две биссектрисы равны, то он равнобедренный.
По-моему, закопаешься в преобразованиях.

Я это понимаю. Просто в общем случае альтернатива следующая: либо надо догадаться до решения по классике, а это не всегда просто (и не всегда хочется, потому, что геометрическая задача может являться частью более большой и нетривиальной задачи) либо смириться с тем, что надо проделать длинную выкладку, но результат гарантирован.

[Mikhail_K]

skobar в сообщении #1666951 писал(а):

На мой взгляд, для школьников хорош ещё задачник Прасолова "Задачи по планиметрии" в двух частях: https://www.ozon.ru/product/prasolov-v- ... 1735049243

У него есть и новое издание, в т.ч. на Озоне, там один том.

[nnosipov]

Padawan в сообщении #1666956 писал(а):

Задачи на построение циркулем и линейкой методом аналитической геометрии не решаются.

Почему же, именно так и решаются, если аналитическую геометрию понимать в широком смысле --- как метод, основанный на введении системы координат. Для той величины, что надлежит построить, пишется алгебраическое уравнение. Его корень (наша величина) должен выражаться через квадратные радикалы (иначе построение будет невозможно --- см. классические примеры типа трисекции угла). Осталось научиться строить циркулем и линейкой корни квадратных уравнений, что легко. Детали можно найти в книге М.М. Постникова "Теория Галуа".

-- Вт дек 24, 2024 22:54:45 --

drzewo в сообщении #1666965 писал(а):

надо проделать длинную выкладку

Что есть в наше время (доступности систем компьютерной алгебры) длинная выкладка? Это лет 30-40 назад могло бы быть проблемой, но сейчас вряд ли.

Вот свеженький пример --- задача М2813 из "Задачника Кванта" (см. https://kvant.ras.ru/pdf/2024/2024-09.pdf, стр. 20). Это задача со звездочкой, т.е. редакция сочла эту геометрическую задачу довольно сложной. Наверное, так и есть, найти геометрическое решение этой задачи дело непростое и небыстрое. Но если мы хотим доказать то, что там просят доказать, алгебраически, то мне потребовалось несколько секунд (ровно столько, чтобы прочитать условие задачи), чтобы понять, что это сделать очень легко.

[drzewo]

Да, конечно, задача спокойно просчитывается.

[katzenelenbogen]

Спасибо за все ответы и за все сведения, но прошу, всё-таки, написать ответ на поставленный вопрос в начале: какой учебник или книги содержат изложение программу по геометрии для математических классов. В первую очередь, в плане теории.

Задачи я вспомнил, где можно взять. Где они собраны для математического класса и для поступления в самые сильные места в середине 00-х годов. Перечисляю ниже.

1. Сборник задач: ред. Говоров, Мирошин "Математика. Сборник задач с решениями для поступающих в вузы". Около 900 страниц. Год издания примерно 2005. По-моему, это был единственный из опубликованных сборников задач, содержавших в себе задачи по стереометрии на нахождение максимально возможных и минимально возможных значений, к слову.
2. Ткачук В.В. Математика - абитуриенту. Здесь тоже ориентировано именно на подготовку в вуз, но нельзя сказать, что там в полной мере представлена теория по геометрии. Так что это именно только курс для изучения программы по задачам. И не уверен, что там есть все современные задачи.

В остальных книгах, насколько могу помнить, всё менее в полном виде.

[мат-ламер]

katzenelenbogen в сообщении #1666976 писал(а):

какой учебник или книги содержат изложение программу по геометрии для математических классов.

Можете взять учебник Александров, Вернер, Рыжик. Это именно учебник (рекомендован министерством образования). Есть толстые сложные книги, которые я не читал. В качестве примера - двухтомник Понарина - "Элементарная геометрия". Но это не учебник, а учебное пособие. Там достаточно специальные вопросы рассмотрены (на любителя). Например - окружность 9-ти точек.