Уравнение x^6+3x^4-2z^2=4

[scwec]

Замена $z=xy-t$ подходящая и решение верное.
Другая замена $z=u^2-k^2, x=ku-(k^2+1)v,y=ku+(k^2+1)v$ приводит к уравнению Пелля $u^2-(k^2+1)v=-1$, имеющего решение $u=k,v=1$ и после сложений бесконечное число параметрических решений исходного уравнения.
Предлагаю также найти рациональное решение $x,y$ уравнения $(x^2-1)(y^2-1)=(k^2+3)^2$

[scwec]

Теперь, как находить множество 1-параметрических решений задачи Лича, используя прием из данной темы нахождения целых 1-параметрических решений уравнения
$(x^2-1)(y^2-1)=z^2\qquad(1)$, а именно
"замена $z=u^2-k^2, x=ku-(k^2+1)v,y=ku+(k^2+1)v$ приводит к уравнению Пелля $u^2-(k^2+1)v=-1$, имеющего решение $u=k,v=1$ и после сложений бесконечное число параметрических решений исходного уравнения."
В Вейерштрассовой форме уравнение $(1)$ запишется как
$w^2=u^3-2(n^2-2)u^2+n^4{u}\qquad(2)$ (переименовали $z$ в $n$)
Уравнение эллиптической кривой в задаче Лича
$Y^2=X^3+(n^2+1)X^2+n^2{X}\qquad(3)$
Существует гомоморфизм групп рациональных точек кривых $(2)$ в $(3)$
$X= \dfrac{w^2}{4u^2}-1, Y = \dfrac{w(u^2-n^4)}{8u^2}$
Для примера - целое 1-параметрическое решение уравнения $(1)$
$z = 16k^2(4k^2+1)(2k^2+1)(4k^2+3)(k^2+1)(8k^4+8k^2+1)$
$x = (2k^2+1)(16k^4+16k^2+1)$,
$y = 128k^8+256k^6+160k^4+32k^2+1$
Сначала с помощью известной замены $x,y$ на $u,w$ отсюда получаем 1-параметрическое решение уравнения $(2)$, а затем
используя указанный выше гомоморфизм,. получаем 1-параметрическое решение для уравнения $(3)$ задачи Лича
$n = 16k^2(4k^2+1)(2k^2+1)(4k^2+3)(k^2+1)(8k^4+8k^2+1)$
$X = 64k^2(k^2+1)(2k^2+1)^2(8k^4+8k^2+1)^2$
$Y = (64(k^2+1))(16k^4+16k^2+1)(128k^8+256k^6+160k^4+32k^2+1)(8k^4+8k^2+1)^2(2k^2+1)^3{k^2}$
Получаемые решения имеют бесконечный порядок. Такой приём сильно отличается от метода А.МакЛеода получения 1-параметрических решений
в задаче Лича и позволяет вычислять всё новые и новые $n$ за счет сложения решений уравнения Пелля.

Приведу также решение в рациональных числах $x,y$ уравнения $(1)$ при $z=k^2+3$ (осталась нерешённой).
$x=\dfrac{k^2+k+2}{k-1}, y=\dfrac{k^2-k+2}{k+1}$
Нет решения ещё и для $z=4k^2\pm{3k}$. Кстати, все три значения $z$ - классика из задачи Лича.