Наибольшее значение криволинейного интеграла

[Padawan]

Найти наибольшее значение криволинейного интеграла

$$ I[C]=\int_C (x^2y-2y)dx-xy^2dy $$

по всевозможным гладким жордановым кривым $C$, соединяющим точки $(-1,-1)$ и $(1,1)$.

[drzewo]

ни съем так понадкусываю

(Оффтоп)

Полагаю, что кривая $C$ должна быть линией уровня функции $H=x^2y^2/2-y^2$

[drzewo]

Я, может, где обсчитался, но , кажется с задачей что-то не то.
Берем кривую $C_a:$

$$x=s+a(s-1)(s+1),\quad y=s,\quad s\in[-1,1].$$

Тогда

$$\int_{C_a}=\int_{-1}^1\ldots ds=\frac{32}{105}a(a^2-7)\to\infty,\quad a\to\infty.$$

[Padawan]

drzewo
Да, все верно. Не ограничен он ни сверху ни снизу. Я делал так: дополнил слагаемое с $dy$ до полного дифференциала и переписал функционал так $I[C]=\int_C{(x^2y-2y+\frac{y^3}3) dx+\mathrm{const}$. Отсюда видно, что если брать интеграл по ломаной, состоящей из двух вертикальных и одного горизонтального отрезка, то его можно сделать сколь угодно большим.
В полярных координатах еще можно попробовать функционал записать.

[Red_Herring]

Посчитаем интеграл по отрезку, соединяющему данные точки. Он равен $0$. Рассмотрим кривую, соединяющую эти точки, и лежащую левее-выше отрезка. Применяя формулу Грина, получим интеграл от $(x^2+y^2-2)$ по полученной области. Он неограничен сверху и достигает минимума вдоль полуокружности. Если же взять кривую, лежащую правее-ниже, то все наоборот. Поэтому в общем случае интеграл не ограничен ни сверху, ни снизу.

[Padawan]

Red_Herring в сообщении #1666209 писал(а):

Он неограничен сверху и достигает минимума вдоль полуокружности

О! Еще один способ обосновать, что полуокружность дает минимум! Причем сильный.