О делении на ноль - так можно или нельзя?

[Neznajka_]

Слышал про некое "колесо" - "тип алгебры, где операция деления определена всегда. В частности, в них деление на ноль имеет смысл" (из Википедии).
Есть ещё вот такие статьи:
https://habr.com/ru/articles/247635/
https://habr.com/ru/articles/249431/
И многие другие, где возможность деления на ноль обосновывается с помощью чего-то, где фигурируют "Колесо", "Сфера Римана", "NaN".

Моих познаний и близко не хватает для этих статей, но для меня интересен сам по себе вопрос - можно или нельзя в математике делить на ноль? Например, когда какой-нибудь профессор говорит о невозможности такого деления вообще во всей математике, то прав он или не прав?
И если можно, то применимо ли это, например, к действительным числам, имеет ли математический смысл выражение $2/0$? Т.е. буквально 2 поделить на 0, а не на последовательность, стремящуюся к нулю.

[manul91]

Neznajka_ в сообщении #1665650 писал(а):

Есть ещё вот такие статьи:

Это не "статьи", это просто свободные публикации в интернете где любой может написать что угодно, что на марсе цветут вишни или что земля плоская. У понятия "научная статья" совершенно другой смысл.

Neznajka_ в сообщении #1665650 писал(а):

если можно, то применимо ли это, например, к действительным числам, имеет ли математический смысл выражение $2/0$? Т.е. буквально 2 поделить на 0, а не на последовательность, стремящуюся к нулю.

По определению "деления" как операцией обратной умножения - это значит найти такое число, которое помноженное на ноль даст 2. Такого числа нет, если вы найдете такое число - сообщите. Заодно и определится смысл 2/0.

[dgwuqtj]

Neznajka_ в сообщении #1665650 писал(а):

Слышал про некое "колесо" - "тип алгебры, где операция деления определена всегда.

Есть несколько разных алгебраических структур, где деление (точнее, взятие обратного $x \mapsto x^{-1}$) как-то доопределяют. Но, конечно, при этом либо портятся свойства операций, например, $x x^{-1}$ не обязательно равно 1. Я на самом деле не очень понимаю, зачем их придумывают: для вещественных чисел сделать все операции непрерывными и вычислимыми всё равно сложно.

Хотя есть регулярные по фон Нейману кольца, это когда добавляется операция взятия квазиобратного $x \mapsto x^{-1}$ с аксиомами $x (x^{-1})^2 = x^{-1}$ и $x^2 x^{-1} = x$. Они естественно возникают в коммутативной алгебре.

[Dmitriy40]

Neznajka_
В рамках действительных чисел и обычной (школьной) операции деления - делить на 0 нельзя. Потому что результат не определён.
Если переопределить понятие "деление" или понятие "число", то можно сделать чтобы делить было можно. Но это не даст ответа на исходный вопрос о делении действительных чисел, их всё равно нельзя.
Математика большая, очень большая, в ней кроме чисел и операций есть ещё много странного.

По статьям, во второй вижу ошибку:

Цитата:

Обратные операции являются замкнутыми только частично (значение корня из целого числа может оказаться целым числом, а может и не оказаться). В тех случаях, где подобрать результат не удается операция оказывается не определена. Данную проблему издавна решают простым способом: рассматривают получившуюся запись операции и числа как новый тип чисел:
$-5, 1/3, \sqrt{2}, \sqrt{-1}$
Таким образом, можно сказать что обратные операции и “порождают” новые типы чисел.

Тут между двумя корнями пропущен ещё один тип чисел, $3^\sqrt{2}$, которые нельзя четырьмя действиями и корнем получить из более левых, и которые, внимание, порождаются прямой операцией возведения в степень, а не обратной как утверждает автор. Это будут трансцендентные числа.
Т.е. ошибка что новые типы чисел порождаются лишь обратными операциями. Соответственно дальше философию не читал.

[wrest]

Neznajka_ в сообщении #1665650 писал(а):

Например, когда какой-нибудь профессор говорит

А вы сразу думайте "Профессор конечно лопух, но аппаратура при нёмм"

[Евгений Машеров]

Математика это инструмент. А инструмент должен удовлетворять двум условиям: выполнять свою функцию и не представлять опасности для владельца. Поскольку одновременно они не всегда выполняются, опасные действия запрещаются, и запрет вводится, как абсолютный, и для всех случаев, заучиваясь наизусть. А когда выясняется, что в определённой задаче надо его нарушить, у заучивших возникает когнитивный диссонанс, "Нам всё врали!": написано "не стой под стрелой!", а стропальщик именно там стоит, строго приказано "не курить рядом со взрывчаткой", а у взрывотехника в зубах папироска, он ею бикфордов шнур поджигает. Но общее правило такими примерами не отменяется, просто люди понимают, почему оно введено, к чему приведёт нарушение, и почему в данном частном случае можно и нарушить.
Позволив делить вещественные на ноль, мы сталкиваемся с тем, что деление - обратная операция к умножению, $x/y\cdot y=x$, но если делить на ноль, либо частное это обычное число $x/0\cdot 0=0$, то есть $\forall x=0$, либо частное есть "особое число", дополнительно введенное, $x/0=\blacksquare$, но тогда с этим "числом" нельзя производить операций: $\blacksquare\cdot 0$ равно всем мыслимым числам. То есть для вещественных чисел делить на ноль бессмысленно. Для других числовых систем иногда можно, но всегда понимая зачем и чем за это платим.
Скажем, весь матанализ это "деление на ноль" при вычислении производных. Только это не число 0, а последовательность, сходящаяся к пределу 0. Или при обращении матриц - если ранг неполон, это аналог деления на ноль (а в плане вычислений - там явно появится ноль в знаменателе). Но если отказаться от обращения, заменив псевдообращением, то есть вместо $B=A^{-1}$ и $BA=I$, вычисляем$A^+$ такое, что $AA^+A=A$
Ещё ситуация относится не к собственно математике, а к программированию математических алгоритмов. На ноль делить по-прежнему нельзя, но вдруг попался ноль в знаменателе. Остановить счёт, зажёгши лампочку "АвОст" нельзя, прерывание, обработка, а что в ячейку результата писать? Ну и пишем NaN, Not a Numerics. То есть не "поделили, получив NaN", а не смогли поделить и оставили об этом отметку.

[Neznajka_]

Ну, т.е., если правильно понял - в каких-то отдельных случаях не с действительными (афаик, и не с комплексными (?)) числами можно "делить на ноль", но при этом понятия "деление" и "ноль" имеют какой-то свой собственный смысл. Всё так?

[Dmitriy40]

Neznajka_ в сообщении #1665699 писал(а):

в каких-то отдельных случаях не с действительными (афаик, и не с комплексными (?)) числами можно "делить на ноль", но при этом понятия "деление" и "ноль" имеют какой-то свой собственный смысл. Всё так?

В общем да, только смысл часто меняется не только лишь у нуля и деления, но и у кучи всего остального (бесконечностей, сравнения чисел на больше/меньше, некоторых других вновь вводимых чисел, иногда и операций вплоть до сложения и вычитания и умножения, в статье был пример когда нельзя упростить $y = 0 \cdot x + 5$). Что-то обязательно меняется, когда мало, когда и много, и далеко не всегда лишь 0 и деление.

[мат-ламер]

Neznajka_ в сообщении #1665650 писал(а):

"Сфера Римана"

Neznajka_ в сообщении #1665699 писал(а):

(афаик, и не с комплексными (?))

Что такое "афаик" я не понял. Но возможность деления на ноль в расширенной комплексной плоскости требует отдельного обсуждения.

[warlock66613]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #1665704 писал(а):

Что такое "афаик" я не понял.

Эх вы, родного языка не знаете :-) AFAIK = As far as I know

[Евгений Машеров]

Слов в языке меньше, чем мыслимых понятий. И не всегда удобно придумывать новое слово, какой-нибудь "фердипюкс", приходится довольствоваться существующими. Но тут есть опасность- если мы соглашаемся группоид именовать "магмой", мы догадываемся, что речь не о расплавленном камне, но некоторые понятия связаны с существующими, являясь их обобщениями, и мы используем уже имеющееся слово. А при этом кажется, что свойства нововведённого понятия совпадают со "старым". А они, вообще говоря, другие. Относится не только к "делению" или понятию "ноля".

[Neznajka_]

Цитата:

Если переопределить понятие "деление" или понятие "число", то можно сделать чтобы делить было можно.

А там в математике, где это можно, оно применяется всё-таки к числам, или к чему-то иному? Ну т.е. те мат-объекты, в которые входит этот "ноль" и то, что на него возможно поделить - это собственно числа? Ну вот например "гиперреальные числа"?...

[Dmitriy40]

Neznajka_
Прочитайте первую из указанных Вами же статей, там есть ответы на вопросы из последних двух Ваших сообщений.

[Евгений Машеров]

Не знал я про "алгебру колёс", почитаю
https://en.wikipedia.org/wiki/Wheel_theory
Ну, введён в ней элемент, обратный к нулю. За это уплочено тем, что, в общем случае
$0x\ne 0$
$x/x\ne 1$
$x-x=0x^2$
и ещё много весёлого. Возможно, где-то это и востребовано, не чистая игра ума. Но вот чтобы предъявить пример реальной системы с такими аксиомами, рассматривают не числа, а пары (и не чисел, а "элементов коммутативного кольца"; и ещё для них установлена хитрая эквивалентность через "мультипликативный субмоноид"). И ноль там действительно обращается. Потому как обращение состоит в перемене местами элементов пары.

[dgwuqtj]

Кроме "колёс" есть ещё common meadows, там тоже $0 \cdot x \neq 0$ в общем случае.