Частотная дисперсия в полупроводниках и диэлектриках

[Sidar]

Одновременное наличие частотной дисперсии диэлектрической поляризации и электрической «истинной» проводимости (за счёт свободных носителей заряда) является особенностью электрической и оптической дисперсии в полупроводниках и несовершенных диэлектриках (в отличие от электрической дисперсии в проводниках и плазме или от магнитной дисперсии), что не всегда учитывается.В связи с этим существенно возрастает роль аналитического представления физических процессов, особенно для полупроводников, где интерпретация результатов экспериментальных исследований затруднена из-за маскирующего влияния проводимости в низкочастотном диапазоне и пикового фундаментального поглощения в видимом и УФ диапазонах оптического спектра.
Термин «дисперсия» (от лат. dispersio - рассеяние) в электродинамику исторически пришёл из оптики, где традиционно использовался в сравнительно узком значении - «дисперсии света» (зависимости показателя преломления от длины волны $n(\lambda)$). Однако, в широком смысле к процессам частотной (электрической) дисперсии в сплошных материальных средах при гармонических квазистационарных режимах воздействия электрического поля (электромагнитной волны или сосредоточенных систем) может быть отнесено изменение в функции частоты (во всём диапазоне электромагнитного спектра) как составляющих комплексного показателя преломления, так и составляющих комплексной диэлектрической проницаемости и комплексной истинной проводимости. Тем более, что для явлений поляризации и проводимости математически подобные частотно-дисперсионные консервативные и поглощающие (абсорбционные) компоненты инверсно меняются местами.
С другой стороны, к полупроводящим средам (в широком смысле) относятся как собственно «полупроводники» (со специфической электронно-дырочной проводимостью, сильно изменяющейся в завимимости от многих факторов, при наличии значительной диэлектрической поляризации), так и иные несовершенные диэлектрики со «сквозной» электропроводностью (ионной, молионной, электронной) [жидкие и твёрдые электролиты («суперионные проводники»), полярные жидкости, минералы, кристаллы и др.].
Аналитическое представление коллективно-селективных процессов частотной дисперсии в полупроводниках и диэлектриках становится возможным лишь на основе ПРИНЦИПА СУПЕРПОЗИЦИИ составляющих электрической поляризации и проводимости, отличающихся по динамическим свойствам, который впервые был применён в 1895 г. немецким физиком П. Друде (в виде соотношения $\epsilon - a^{2} = \sum \epsilon_{r}$) при исследовании аномальной дисперсии диэлектриков (воды) [Drude P., Untersuchungen uber die elektrische Dispersion. - Ann. Phys., 1895, Bd. 54, N 2, S. 352 - 370]. Существенный последующий вклад в теорию частотной дисперсии поляризации внесён П. Дебаем в виде «уравнений Дебая» (для релаксационной поляризации) и многими другими исследователями (Cole R. S., Cole R. H., А. Р. Хиппель, и т. д.), в том числе и для классического (Г. А. Лоренц) и квантового (R. Ladenburg) осцилляторов (резонансного типа).
Тем не менее, с учётом исторически длительного пути развития теории «дисперсии света» (и не только света), в классическом исполнении в качестве исходных материальных уравнений для полупроводящей среды представляется возможным принять следующие соотношения (с частотно-независимыми постоянными в виде коэффициентов уравнений) для отдельных составляющих поляризации и проводимости, отличающихся по динамическим свойствам:

$\mathbf{D} = \sum_{i = 0}^{n} \mathbf{D}_{i}$ (1-1)

$\epsilon = \sum_{i = 0}^{n} \epsilon_{i}$ (2-1)

$\mathbf{\delta} = \sum_{i = 1}^{n} \mathbf{\delta}_{i}$ (3-1)

$\gamma = \sum_{i = 1}^{n} \gamma_{i}$ (4-1)

$\mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon_i} \mathbf{D}_{i} + \sigma_{i}\frac{\partial {\mathbf{D}_{i}}}{\partial t} + \xi_{\epsilon i}\frac{\partial^{2}{\mathbf{D}_{i}}}{\partial t}$ (5-1)

$\mathbf{E} = \frac{1}{\gamma_{i}} \mathbf{\delta}_{i} + \xi_{\gamma i} \frac{\partial {\mathbf{\delta}_{i}}} {\partial t} (6-1)

где для $i$ - тых составляющих:

$\mathbf{D}_{i}$ - компонента электрической индукции, Кл/м$^2$;
$\epsilon_{i}$ - абсолютная статическая диэлектрическая проницаемость $i$-той компоненты, Ф/м;
$\sigma_{i}$ - динамический коэффициент диэлектрических потерь для $i$-той компоненты поляризации, Ом$\cdot$м;
$\xi_{\epsilon i}$ – удельная дифференциальная кинето-электрическая индуктивность для $i$-той компоненты поляризации, Гн$\cdot$м;
$\mathbf{\delta}_{i}$ - плотность электрического тока проводимости за счёт одного из видов свободных носителей заряда, А/м$^2$;
$\gamma_{i}$ - удельная (стационарная) электрическая проводимость за счёт одного из видов свободных носителей заряда, Ом$^{-1}\cdot$м$^{-1}$;
$\xi_{\gamma i}$ - удельная дифференциальная кинето-электрическая индуктивность для $i$-той компоненты проводимости, Гн$\cdot$м;
Все остальные величины в вышеприведенных соотношениях (и далее) имеют общепринятые значения.

Для гармонических процессов в полупроводниках и несовершенных диэлектриках зависимостям (1-1) - (6-1) соответствует ряд следующих соотношений (1-2) - (6-2):

$\mathbf{\dot{D}} = \dot{\epsilon}\mathbf{\dot{E}} = \sum_{i = 0}^{n}\mathbf{\dot{D}}_{i}$ (1-2)

$\dot{\epsilon} = \sum_{i = 0}^{n} \dot{\epsilon}_{i}$ (2-2)

$\mathbf{\dot{\delta}} = \dot{\gamma}\mathbf{\dot{E}} = \sum_{i = 1}^{n}\mathbf{\dot{\delta}}_{i}$ (3-2)

$\dot{\gamma} = \sum_{i = 1}^{n}\dot{\gamma}_{i}$ (4-2)

$\dot{\epsilon}_{i} = \frac{\epsilon_{i}}{(1 - \omega^{2}\tilde{\tau}_{\epsilon i}^{2}) + j \omega\tau_{\epsilon i}} = \epsilon’_{i} - j \epsilon’’_{i} $ (5-2)

$\dot{\gamma}_{i} = \frac{1}{\frac{1}{\gamma_{i}} + j\omega\xi_{\gamma i}} = \frac{\gamma_{i}}{1 + j\omega\tau_{\gamma i}} = \gamma’_{i} - j\gamma’’_{i} $ (6-2)

где
- для $i$-той компоненты поляризации:
$\tau_{\epsilon i} = \sigma_{i}\epsilon_{i}$ - постоянная времени релаксации, с;
$\tilde{\tau}_{\epsilon i} = \sqrt{\xi_{\epsilon i}\epsilon_{i}}$ - постоянная времени резонанса, с;
$\dot{\epsilon}_{i}$ - комплексная диэлектрическая проницаемость по одному виду поляризации, ф/м;
$\epsilon’_{i}$ , $\epsilon’’_{i}$ - консервативная (упругая) и консумптивная (поглощающая) составляющие одной из $i$-тых компонент комплексной диэлектрической проницаемости, ф/м;

- для $i$-той компоненты истинной проводимости:
$\tau_{\gamma i} = \xi_{\gamma i}\gamma_{i}$ - постоянная времени релаксации для одного из видов проводимости за счёт свободных носителей заряда;
$\xi_{\gamma i}$ – удельная дифференциальная кинето-электрическая индуктивность для $i$-той компоненты электрической проводимости за счёт одного вида свободных носителей заряда, Гн$\cdot$м;
$\gamma_{i}$ – удельная стационарная (на постоянном токе) электрическая проводимость для $i$-той компонеты проводимости за счёт свободных носителей заряда, Ом$^{-1}\cdot$м$^{-1}$;
$\dot{\gamma}_{i}$ – комплексная электрическая проводимость для i –той компоненты, Ом$^{-1}\cdot$м$^{-1}$;
$\gamma’_{i}$ – консумптивная (поглощающая) составляющая комплексной электрической проводимости за счёт одного вида свободных носителей заряда, Ом$^{-1}\cdot$м$^{-1}$;
$\gamma’’_{i}$ – консервативная составляющая комплексной проводимости за счёт одного вида свободных носителей заряда, Ом$^{-1}\cdot$м$^{-1}$.
Для $i$-тых компонент комплексной электрической проводимости за счёт свободных носителей заряда здесь (для полупроводников и несовершенных диэлектриков) закономерно используется некоторый аналог известной формулы Друде (первоначально предложенной для металлов с электронной проводимостью [Drude P., Zur Elektronentheorie der Metalle. - Ann. Phys., 1900, Bd. 1, S. 566]) в виде модифицированного полуэмпирического соотношения (6-2).
Понятие удельной дифференциальной кинето-электрической индуктивности (известное ранее в несколько различной терминологии и смысловом значении – «кинетической индуктивности», «геометрической индуктивности», «немагнитной индуктивности») приобретает принципиально важное значение (особенно в последнее время) также при исследовании явлений сверхпроводимости и электромагнитных процессов в плазме.

Универсальная (для процессов релаксации, ретардации, резонанса) формула (5-2) для релаксационных процессов согласуется с известными уравнениями П. Дебая:

$\epsilon’ = \epsilon_{\infty} + \frac{\epsilon_{s} - \epsilon_{\infty}}{1 + (\omega\tau)^{2}}$ (7-1)

$\epsilon’’ = \frac{(\epsilon_{s} - \epsilon_{\infty})\omega\tau}{1 + (\omega\tau)^{2}}$ (7-2)

Для коллективных и селективных резонансных процессов универсальное соотношение (5-2) также не противоречит (в принципе) классической формуле дисперсии для системы из осцилляторов $s$-типа с разными концентрациями $N_s$, собственными частотами $\omega_s$ и эффективными массами $m_s$:

$\dot{\epsilon} = \epsilon_{0} + \sum_{s = 1}^{n} \frac{\frac{N_{s}e^{2}}{m_{s}}}{\omega_{s}^{2} - \omega^{2} + j\omega\gamma_{s}}$ (8)
где
$\gamma_s$ - показатель затухания или параметр ширины спектральной линии.
Однако, последнее соотношение (8), также как и ему подобные в научно-технической литературе по оптике, оказывается малопригодным для практических расчётов. Квантово-механическая модифиция классической формулы дисперсии, как известно, также не приводит к существенно отличающимся результатам для осцилляторной модели. Более того, в существующем в физической литературе виде эти резонансные формулы, также как релаксационные формулы Дебая (или их эмпирическая модификация Коула-Коула) не дают возможности выразить промежуточные релаксационно-резонансные процессы (области ретардации), характерные прежде всего для обширного инфракрасного диапазона оптического спектра. С другой стороны, применение уравнений Дебая в чистом виде (хотя бы для одной релаксационной компоненты) приводит к «гашению» практически всех «окон прозрачности» для оптического частотного диапазона. И на эту критическую ситуацию ранее не обращалось должного внимания.или существующая проблема сознательно замалчивалась.
В результате вышеизложенного количественно обосновать окна прозрачности, например, диэлектрических жидкостей или кристаллов представляется возможным только с учётом «эффекта частотной ретардации энергетических потерь» [A. M. Sidorovich, Effect of the Effects of Retardation in Wave Processes. - Proc. 8th Int. Symp. on Theoretical Electrical Engineering (ISTET'95). Thessaloniki (Aristotle University), Greece, 22 - 23 Sept.1995] при соответствующей вариации характеристических параметров универсального соотношения (5-2). В более углублённом варианте может использоваться модель излучающего осциллятора или ряда индуктивно связанных осцилляторов (при сильной или слабой связи). Практикуемое в сравнительно узком оптическом диапазоне видимого света использование различных интерполяционных формул для определения дисперсии показателя преломления света (типа «формулы Коши» или им подобных) не способствует отображению физики реальных процессов дисперсии, в данном случае определяемых «крыльями» полос поглощения в смежных ИК и УФ диапазонах. И здесь есть широкий простор для численного математического моделирования дисперсионных характеристик конкретных полупроводниковых и диэлектрических материалов оптики и электроники.
На основе вышеприведенных закономерностей для ряда полупроводников и несовершенных диэлектриков (Si, GaAs, Ge, Se, $AI_{2}O_{3}$, NaCl, KCl, KBr и др.) проведено численное и графическое представление частотной дисперсии в широком диапазоне электромагнитного спектра с помощью прикладной компьютерной программы “SPECTRA”, демоверсия которой свободно доступна через Интернет (методика расчёта отработана на примере полного диэлектрического спектра $H_{2}O$ и $D_{2}O$ [А. М. Сидорович, Диэлектрический спектр воды. – УФЖ, т. 29, 1984, N 8, с. 1175 -1181]).
Единожды смоделированные характеристические диэлектрические спектры отдельных полупроводников и диэлектриков сохраняются таковыми на вечные времена (с экспериментально подтверждённой достоверностью) при необходимом уточнении параметров для конкретных условий.

[RSaulius]

Sidar писал(а):

С другой стороны, применение уравнений Дебая в чистом виде (хотя бы для одной релаксационной компоненты) приводит к «гашению» практически всех «окон прозрачности» для оптического частотного диапазона. .

какие релаксационные компоненты вы имеете в виду ? У йонных, например т большое и максимум eps" приходится на радио диапазон и таким образом оптический диапазон не гасится.

[Sidar]

RSaulius писал(а):

Sidar писал(а):

С другой стороны, применение уравнений Дебая в чистом виде (хотя бы для одной релаксационной компоненты) приводит к «гашению» практически всех «окон прозрачности» для оптического частотного диапазона. .

какие релаксационные компоненты вы имеете в виду ? У йонных, например т большое и максимум eps" приходится на радио диапазон и таким образом оптический диапазон не гасится.

====================================
Имеются в виду релаксационные компоненты поляризации (в том числе, ионная компонента с релаксационным максимумом $\epsilon’’_{i}(\omega)$ в субмиллиметровом диапазоне). При этом энергетические потери и затухание определяются зависитмостью $\omega\epsilon’’_{i}(\omega)$, стремящейся к постоянной величине с ростом частоты, а не величиной $\epsilon’’_{i}(\omega)$
Возможно Вы имели в виду релаксацию проводимости за счёт свободных ионов, завершающуюся, однако, не в радиодиапазоне, а где-то в дальнем ИК-диапазоне?

[RSaulius]

Sidar писал(а):

RSaulius писал(а):

Sidar писал(а):

С другой стороны, применение уравнений Дебая в чистом виде (хотя бы для одной релаксационной компоненты) приводит к «гашению» практически всех «окон прозрачности» для оптического частотного диапазона. .

какие релаксационные компоненты вы имеете в виду ? У йонных, например т большое и максимум eps" приходится на радио диапазон и таким образом оптический диапазон не гасится.

====================================
Имеются в виду релаксационные компоненты поляризации (в том числе, ионная компонента с релаксационным максимумом $\epsilon’’_{i}(\omega)$ в субмиллиметровом диапазоне). При этом энергетические потери и затухание определяются зависитмостью $\omega\epsilon’’_{i}(\omega)$, стремящейся к постоянной величине с ростом частоты, а не величиной $\epsilon’’_{i}(\omega)$
Возможно Вы имели в виду релаксацию проводимости за счёт свободных ионов, завершающуюся, однако, не в радиодиапазоне, а где-то в дальнем ИК-диапазоне?

нет , имеется в виду связанные ионы. Типичная дисперсия - на картинке

Цитата:

Более того, в существующем в физической литературе виде эти резонансные формулы, также как релаксационные формулы Дебая (или их эмпирическая модификация Коула-Коула) не дают возможности выразить промежуточные релаксационно-резонансные процессы (области ретардации), характерные прежде всего для обширного инфракрасного диапазона оптического спектра

эти промежуточные релаксационно-резонансные процессы и есть осциллятор с потерями , модели которого известы и широко применяется в диэлектрической спектроскопии.

[Sidar]

RSaulius писал(а):

.....................................................................
нет , имеется в виду связанные ионы. Типичная дисперсия - на картинке

==============================================
На картинке в Wikipedia (“Dielectric spectroscopy”) имеется в виду низкочастотная «ионно-релаксационная поляризация» за счёт локального перемещения слабо связанных ионов для гетерогенных сред (которая сродни миграционной поляризации по механизму Максвелла-Вагнера) и которую следует отличать от собственно «ионной (упругой) поляризации» ионных кристаллов или примесных ионов в растворах (дальнего ИК или субмиллиметрового диапазонов). Ионно-релаксационная поляризация наблюдается в ионных диэлектриках с неплотной упаковкой ионов, в частности, в неорганических стёклах и в некоторых кристаллических веществах и часто маскируется сквозной электропроводностью за счёт свободных носителей заряда.Так, например, температурные и частотные зависимости диэлектрических потерь пористого анодного оксида алюминия имеют характерные максимумы (в частотном диапазоне 50 – 500 кГц), обусловленные ионно-релаксационной составляющей поляризации, время установления которой в зависимости от типа оксида составляет 2- 10 мкс [Весцi Акадэмii навук БССР. Сер. Фiз.-мат навук, 1991, N 6, с. 92 -98]. Эта ионно-релаксационная компонента вносит сравнительно небольшой вклад в величину диэлектрической проницаемости и этим можно объяснить её слабое влияние на гашение окон прозрачности в оптическом диапазоне, хотя ранее отмеченные закономерности частотной зависимости энергетических потерь остаются таковыми. Кстати, на рисунке в Wikipedia кривая $\epsilon’’(\omega)$ должна стремиться к нулю с уменьшением частоты. Фактически на Рис. показано эффективное значение мнимой составляющей проницаемости с включением в неё сквозной электропроводимости $\epsilon’’ + \frac{\gamma}{\omega}$, что в тексте статьи в энциклопедии не отмечено.

RSaulius писал(а):

эти промежуточные релаксационно-резонансные процессы и есть осциллятор с потерями , модели которого известы и широко применяется в диэлектрической спектроскопии.

========================================
Да, действительно, эти промежуточные релаксационно-резонансные процессы и есть демпфированный классический осциллятор с потерями. Однако, здесь принципиально важен конкретный вид используемых формул, принятая методика вычислений и ввода исходных данных и интерпретации результатов. Так, уже давно известно, что официозная методика молекулярной спектроскопии с поштучным учётом атомных масс и длины молекулярных связей [Грибов Л. А., Дементьев В. А., Моделирование колебательныхспектров сложных соединений на ЭВМ. – М.: Наука, 1989.. – 160 с.] (с использованием прикладной программы “CURVE” и ей подобных) завершилась полным провалом (после огромной затраты бюджетных средств союзного государства) и о каком либо широком применении в данном случае говорить не приходится.

[Alex-A]

Если вы используете формулы Дебая, то я рекомендую вам обратиться к ссылке http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2005/171.pdf. Это внесёт некоторую ясность и снимет некотрые вопрсы вашей дискуссиию

[Sidar]

Alex-A писал(а):

Если вы используете формулы Дебая, то я рекомендую вам обратиться к ссылке http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2005/171.pdf. Это внесёт некоторую ясность и снимет некотрые вопрсы вашей дискуссиию

=========================================
Ссылка пока не работает (не доступна).

Формулы Дебая, как известно, предназначены только для релаксационных процессов поляризации. Здесь-же (в соответствии с принципом суперпозиции) используется более общая формула (для резонансных и релаксационных процессов поляризации, а также для промежуточной области ретардации), которая вместе с оригинальной методикой расчёта и представления данных впервые приведена в публикации – [Сидорович А. М., Диэлектрический спектр воды. – УФЖ, т. 29, 1984, N 8, с. 1175 - 1181] и в дальнейшем (1995 г.) задействована также в прикладной программе “SPECTRA”, демоверсия которой свободно доступна через Интернет.
Формулы Дебая, естественно, являются частным случаем составляющих вышеупомянутой формулы.