Как работает алгоритм решения задачи NNLS

[TToMo7uTe]

Задача NNLS:
$\|Ex -f\|_2 \rightarrow min, \ x \geq 0, $ где $E$ - матрица размеров $m$ на $n$, $m > n$

В книге "Численное решение задач метода наименьших квадратов" Лоусона Ч. указан следующий алгоритм решения этой задачи (стр 124):

($E, m_2, n, f, x, w, z, \Phi, Z$):
1. Положить $\Phi = \varnothing, Z = \{1, 2, ..., n\}, x = 0$
2. Вычислить $n$-вектор $w = E^{T}(f - Ex)$
3. Если множество$ Z$ пусто или $w_i \leq 0$ для всех $i \in Z$, перейти к шагу 12
4. Найти индекс $t \in Z$ такой, что $w_t = max\{w_j: j \in Z\}$
5. Переместить индекс $t$ из множества $Z$ в множество $\phi$
6. Пусть $E_{\Phi}$ - $m_2 \times n$-матрица, определяемая таким образом:
столбец $j$ матрицы $E_{\Phi}$ = столбцу $j$ матрицы $E$, если $j \in \Phi$, $0$ иначе.
Вычислить $n$-вектор $z$ как решение задачи наименьших квадратов $E_{\Phi}z = f$
7. Если $z_i > 0$ для всех $j \in \Phi$, положить $x = z$ и перейти к шагу 2
8. Найти индекс $q \in \Phi$ такой, что
$x_q/(x_q - z_q) = min \{x_j/(x_j - z_j): z_j \leq 0, j \in \Phi\} $
9. Положить $\alpha = x_q/(x_q - z_q)$
10. Положить $x = x + \alpha(z - x)$
11. Переместить из множества $\Phi$ в множество $Z$ все индексы $j \in \Phi$, для которых $x_j = 0$. Перейти к шагу 6.
12. Конец

Не понимаю как работает критерий окончания.
Если $Z$ пусто, это значит, что точка $x$ является внутренней точкой для всех полупространств $x_j \geq 0$. Почему из этого следует, что это точка минимума функционала?
Если $w_i \leq 0$ для всех $i \in Z$, то это значит, что для того, чтобы уменьшить невязку, придется выйти из допустимой области?

Почему переменная вводимая на шаге 5 будет не отрицательной? В книге написано
"Выбранный на шаге 4 индекс $t$ указывает компоненту, не представленную пока в множестве $\Phi$, которая в соответствии с леммой 23.17 будет положительна, если ее ввести в решение."

Лемма 23.17:
Пусть $A - m \times n$ матрица ранга $n$, а $b - m$-вектор, для которого
$A^{T}b = \begin{bmatrix} 0\\ \cdots\\ 0\\ w \end{bmatrix}$

$w > 0$

Если $\hat_{x}$ - решение задачи $Ax = b$ (в смысле задачи НК), то его $n$-я компонента $\hat_{x_n}$ > 0

Для моих примеров условие для $ E_{\Phi}^{T}f$ не выполняется