Как обозначается пустое значение?

[Martynov_M]

Как в математике обозначается пустое значение?
Есть функция:

$f(x) = \begin{cases} x-1, & x \equiv 1 \pmod 4 \\ x-2, & x \equiv 2 \pmod 4 \\ x-3, & x \equiv 3 \pmod 4 \end{cases}$

Как добавить в эту функцию вариант c пустым значением для чисел $x \equiv 0 \pmod 4$ ?
Мне нужно показать, что эта функция должна игнорировать числа вида $x \equiv 0 \pmod 4$.

Хотел сделать вот так:

$f(x) = \begin{cases} x-1, & x \equiv 1 \pmod 4 \\ x-2, & x \equiv 2 \pmod 4 \\ x-3, & x \equiv 3 \pmod 4 \\ 0, & x \equiv 0 \pmod 4 \end{cases}$


Но потом обнаружил, что результат этой функции в моей работе используется другой функцией, и число 0 мне не подходит.
Склоняюсь к выводу, что в математике нельзя вот так, как в программировании, показать, что функция возвращает пустое (неопределенное) значение Null:

$f(x) = \begin{cases} x-1, & x \equiv 1 \pmod 4 \\ x-2, & x \equiv 2 \pmod 4 \\ x-3, & x \equiv 3 \pmod 4 \\ Null, & x \equiv 0 \pmod 4 \end{cases}$

?

[mihaild]

Никак, универсально выделенного "пустого значения" нет. Больше всего это похоже на то, что такие числа не входят в область определения функции. Записывается, например, как $f: \{x \in \mathbb N | x \not \equiv 0 \pmod 4\} \to \mathbb N$.

[dgwuqtj]

В теории вычислимости я встречал обозначение $\bot$ для "пустого значения". Формально вашу частичную функцию $f \colon \mathbb N \dashrightarrow \mathbb N$ можно рассматривать как обычную функцию $\mathbb N \to \mathbb N \sqcup \{\bot\}$ (или даже $\mathbb N \sqcup \{\bot\} \to \mathbb N \sqcup \{\bot\}$, если надо брать композиции).