Алгебраическая топология, CW-комплексы

[Bober2]

Добрый день, уважаемые участники форума! У меня возник следующий вопрос:
Пусть $X$ - некоторое топологическое пространство, такое, что все $H_k(X)=0$ при $k>n$. А остальные группы гомологий - конечно-порождены. Правда ли, что тогда я смогу построить конечный CW-комплекс с такими же группами гомологий? В случае, когда $X$ односвязно вопрос решается в положительном ключе. Более того, в таком случае пространство гомотопически эквивалентно конечному клеточному комплексу. Если односвязности не требовать, то достаточно легко построить пример такого топологического пространства, у которого все группы гомологий конечно-порождены, ненулевых гомологий - только конечное число, но пространство не гомотопически эквиваленитно конечному CW-комплексу. Но мне пока не ясно, всегда ли найдётся клеточный комплекс с такими же группами гомологий?

-- 10.12.2024, 14:37 --

А, сейчас, кажется, что это очевидно. Рассмотрим букет сфер разных размерностей. Тогда группы гомологий будут свободными абелевыми группами. Чтобы добиться кручения в группах гомологий можно взять n мерный шар, и его границу приклеить к (n-1)-мерной сфере так, чтобы степень отображения была равна k

[dgwuqtj]

Bober2 в сообщении #1664356 писал(а):

Если односвязности не требовать, то достаточно легко построить пример такого топологического пространства, у которого все группы гомологий конечно-порождены, ненулевых гомологий - только конечное число, но пространство не гомотопически эквиваленитно конечному CW-комплексу.

А на это ссылку не подскажете?

[Bober2]

dgwuqtj в сообщении #1664359 писал(а):

Bober2 в сообщении #1664356 писал(а):

Если односвязности не требовать, то достаточно легко построить пример такого топологического пространства, у которого все группы гомологий конечно-порождены, ненулевых гомологий - только конечное число, но пространство не гомотопически эквиваленитно конечному CW-комплексу.

А на это ссылку не подскажете?

А вот тут я приврал. Это верно, если $X$ имеет структуру CW-комплекса (но не обязательно конечного). Доказывается это в Хатчере, в разделе 4.C.