Сравнить числа

[Babybat]

Сравнить $21^{22}$ и $23^{21}$. Предполагается найти число между ними (у меня не получилось ).

[Shadow]

Замечательные пределы изучали?

[Babybat]

Shadow в сообщении #1663979 писал(а):

Замечательные пределы изучали?

Нет.

[TOTAL]

Babybat в сообщении #1663973 писал(а):

Сравнить $21^{22}$ и $23^{21}$.

Подсказка: $21>9$

[Rak so dna]

Babybat в сообщении #1663973 писал(а):

Сравнить $21^{22}$ и $23^{21}$. Предполагается найти число между ними (у меня не получилось ).

Сначала докажите, а затем воспользуйтесь неравенством:

$x^{\frac{1}{x}}\geq 1+\dfrac{\ln{x}}{x}$

С помощью него же найдёте число между заданными.

[lel0lel]

Babybat в сообщении #1663973 писал(а):

Предполагается найти число между ними

Предлагаю среднее арифметическое)

[Booker48]

А неравенство $(1+x)^n<e^{nx}$ можно использовать?

[Shadow]

Booker48 в сообщении #1664013 писал(а):

А неравенство $(1+x)^n<e^{nx}$ можно использовать?

Babybat в сообщении #1663981 писал(а):

Shadow в сообщении #1663979 писал(а):

Замечательные пределы изучали?

Нет.

[lel0lel]

TOTAL в сообщении #1663985 писал(а):

Подсказка: $21>9$

У меня тоже всё свелось к этому неравенству, но, может быть, несколько иным путём чем у TOTAL. Можно рассмотреть функцию $f(x)=(22-x)^{\frac{x+43}{2}}$, нужно сравнить $f(-1)$ и $f(1)$. Остаётся показать возрастание функции на требуемом интервале.

[Babybat]

Я кривовато написал условие, извините. Это задача для школьников 10 класса, можно пользоваться только монотонностью $x^r$. Задача помещена в разделе, где предполагается делать оценку путём угадывания промежуточного числа. В итоге получилось вот что: я взял корень 7 степени и получил $9261\cdot \sqrt[7] 21$ и $12167$. Но $\sqrt[7] {(4/3)^7}<\sqrt[7] 21$, при этом $9261 \cdot \frac{4}{3} > 12167$. В других примерах оценку как-то сразу угадывал, а тут почему-то в тупик поставило.

[katzenelenbogen]

Есть ещё похожая задача: сравнить $\pi^e$ и $e^\pi$.

[TOTAL]

ПОДСКАЗКИ.
1. $21>9$
2. $21^{22} > 9 \cdot 21^{21}$
3. $3> \left( 1+\frac{1}{21} \right)^{21}$ (бином Ньютона и сумма геом. прогр.)
4. $9> \left( 1+\frac{2}{21} \right)^{21}$

[katzenelenbogen]

Мне приходит в голову только один способ с ходу. Рассмотрим разность этих двух чисел:

$21^{22}-23^{21}=21^{21+1}-(21+2)^{21}$.

Пусть $\varphi=x^{x+1}-(x+2)^x$. Тогда можно рассмотреть эту функцию, разложить её в ряд Тейлора и с помощью него приблизительно вычислить её значение при $x=21$ с точностью, по модулю меньшей самогó приближённого значения. Но я 20 лет назад этим занимался и сейчас не готов выдать готовые формулы и алгоритм. По-моему, для этих целей нужно использовать формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Такой способ может быть на бумаге очень громоздкий, но надёжный.