Совмещение двух точек на поверхности

[Gg322]

Пусть дано связное, компактное $n$-мерное многообразие $M^n$. Надо доказать, что для любы двух точек $P,Q \in M^n$ существует гомеоморфизм $f:M^n \to M^n$ такой, что $f(P)=Q$.
Как можно было бы доказать?

[dgwuqtj]

Можно попробовать примерно так:
1. В связном многообразии через любые две точки можно провести вложенную гладкую кривую $\gamma \colon [0, 1] \to M$ и продолжить её до вложения $[-\varepsilon, 1 + \varepsilon] \to M$ так, что $\gamma(0) = P$ и $\gamma(1) = Q$.
2. У этой кривой можно выбрать трубчатую окрестность, то есть вложение цилиндра $\mathbb D^{n - 1} \times [-\varepsilon, 1 + \varepsilon] \to M$, где $\mathbb D^k = \{x \in \mathbb R^k \mid |x| \leq 1\}$.
3. В трубчатой окрестности гомеоморфизм можно задать явной формулой так, чтобы он был тождественным в окрестности края.
Тут используется несколько результатов из дифференциальной топологии, конечно.

[Gg322]

dgwuqtj
Я думал насчет кривой, но у нас же многообразие может быть линейно не связным, разве нет?

[drzewo]

Gg322 в сообщении #1663959 писал(а):

многообразие может быть линейно не связным

не может.

-- 07.12.2024, 15:23 --

Если бы многообразие было гладким, то, думаю, что можно было бы организовать векторное поле , которое касалось бы кривой, соединяющей $P$ и $Q$, и построить диффеоморфизм с помощью фазового потока

[Padawan]

Gg322 в сообщении #1663956 писал(а):

связное

Gg322 в сообщении #1663959 писал(а):

многообразие может быть линейно не связным, разве нет

Докажите, что связное многообразие линейно связно.

[Gg322]

Padawan
Я дурак, многообразие по определению локально выглядит как $\mathbb{R}^n$, а оно линейно связно.

[dgwuqtj]

А, у вас просто топологическое многообразие? Тогда с трубчатой окрестностью тоже могут быть сложности. Вот полезная ссылка.

[Gg322]

dgwuqtj
Хаусдорфово, со счетной базой.