произведение функций из пространства Соблева

[nckg]

Всем привет!
Вопрос следующий: принадлежит ли произведение функций из пространства Соболева H самому пространству H? Если нет, то желателен пример.

В качестве конкретного пространства Н можно взять $H^1(\Omega)$, где $\Omega$ --- некая область, но интересно и как дело обстоит для других пространств (например $W_p^l$).

[ewert]

nckg писал(а):

Всем привет!
Вопрос следующий: принадлежит ли произведение функций из пространства Соболева H самому пространству H? Если нет, то желателен пример.

нет, конечно. А с какой стати это произведение обязано принадлежать?

Возьмите какую-нить функцию типа $|x|^{-q}$. Она какому-нибудь из эль-пэ да принадлежит. Но это ещё не означает, что её квадрат принадлежит тому же пространству.

А ведь эль-пэ -- простейший пример соболевских пространств.

[nckg]

Согласен, как раз случай $L_p$ меня натолкнул на этот вопрос.
Но конкретно для $W^1_p(0,1)$ мне не удалось подобрать соотв. пример.

Если рассматривать $x^q$, то
(1) для $x^q \in W^1_p(0,1)$ нужно $q>-\frac{1}{p}+1$
(2) для $(x^q)^2 \in W^1_p(0,1)$ нужно $q>-\frac{1}{2p} + \frac{1}{2}$
Для того, чтобы выполнялось (1) и не выполнялось (2) необходимо
$-\frac{1}{p}+1<-\frac{1}{2p} + \frac{1}{2}$
откуда $\frac{1}{2p}>1/2$, т.е. $p<1$.

Отсюда следует, что функция вида $x^q$ в качестве контрпримера не подойдёт...

[zoo]

nckg писал(а):

Всем привет!
Вопрос следующий: принадлежит ли произведение функций из пространства Соболева H самому пространству H? Если нет, то желателен пример.

В качестве конкретного пространства Н можно взять $H^1(\Omega)$, где $\Omega$ --- некая область, но интересно и как дело обстоит для других пространств (например $W_p^l$).

Пусть $M\subset \mathbb{R}^m$ -- ограниченная область с гдадкой границей. Тогда
пространство $H^{s,p}(M),\quad 1<p<\infty$ является банаховой алгеброй относительно умножения если $sp>m$. [Adams Sobolev Spaces]
зы то что Вам предложил ewert в качестве контрпримера совершенно правильно.

[nckg]

Спасибо!
А под $H^{s,p}(M),\quad 1<p<\infty$ Вы понимаете $W_p^s$, т.е. $s$ об. пр-ных из $L_p$?

Цитата:

Тогда
пространство $H^{s,p}(M),\quad 1<p<\infty$ является банаховой алгеброй относительно умножения если $sp>m$. [Adams Sobolev Spaces]

И где про это можно прочитать?

Цитата:

зы то что Вам предложил ewert в качестве контрпримера совершенно правильно.

Вы хотите сказать, что я в предыдущем посте где-то наглючил?

[zoo]

nckg писал(а):

Спасибо!
А под $H^{s,p}(M),\quad 1<p<\infty$ Вы понимаете $W_p^s$, т.е. $s$ об. пр-ных из $L_p$?

Цитата:

Тогда
пространство $H^{s,p}(M),\quad 1<p<\infty$ является банаховой алгеброй относительно умножения если $sp>m$. [Adams Sobolev Spaces]

И где про это можно прочитать?

Цитата:

зы то что Вам предложил ewert в качестве контрпримера совершенно правильно.

Вы хотите сказать, что я в предыдущем посте где-то наглючил?

где можно прочитать -- уже написал,
в примере ewert возмите $m=3$

[nckg]

Спасибо за книгу, я думал что в квадратных скобках Вы указали специальное название таких пространств .
В общем да, если рассуждать аналогично моему 2-ому посту, то получим что $|x|^{-q}\in W_p^s(\Omega)$, $\Omega \subset \mathbb R^m$ при $q<-s+\frac{m}{p}$, стало быть, чтобы функция $|x|^{-q}$ вместе с квадратом принадлежала $W_p^s(\Omega)$, необходимо $-s+\frac{m}{p}<0$, т.е. $sp>m$, что соответствует указанной Вами, zoo, теореме. Если же $sp<m$ (например, $m=3$, $p=2$, $s=1$) то $|x|^{-q}$ при любом $q\in((m/p-s)/2,m/p-s)$ будет искомым контрпримером.
Всем спасибо за помощь!

[Римский]

nckg писал(а):

Но конкретно для $W^1_p(0,1)$ мне не удалось подобрать соотв. пример.

Одномерном случае (при ограниченном интервале) произведение двух функций из пространства Соболева первого порядка принадлежит этому же пространству, и норма произведения оценивается через произведение норм. Аналогично верно и для двумерного случая для пространства второго порядка.

Для доказательства нужно воспользоваться теоремой вложения Соболева.