Диагональный аргумент и рациональные числа

[bubu gaga]

Верна ли аргументация?

1. У нас есть биекция между $Q$ и $N$. Мы не просто предполагаем, что её можно построить, а строим её.

2. По диагонали выписываем число.

3. Если бы это диагональное число было рациональным, то оно было бы в списке, следовательно натолкнулось бы на себя самого.

4. По построению оно однако не совпадает ни с одним числом в списке, следовательно оно иррационально.

Спасибо!

[venja]

Подробнее пожалуйста, а то непонятно.
Как вы строите биекцию? Что там за диагональ?
Что значит "По диагонали выписываем число"?

[bubu gaga]

venja писал(а):

Подробнее пожалуйста, а то непонятно.
Как вы строите биекцию? Что там за диагональ?
Что значит "По диагонали выписываем число"?

Биекция строится вот таким способом


Диагональ появляется если расположить десятичные записи рациональных чисел друг под другом, упорядочив эти числа вышеупомянутым способом.

$i$-ый знак диагонального числа: $b$ вычисляется из $i$-го знака $i$-го числа из списка: $a^{(i)}$

$$\left\{ \begin{array}{l} b_{i} = a_i^{(i)} + 1, \; a_i^{(i)} < 9 \\ b_{i} = 0, \; a_i^{(i)} = 9 \end{array} \right.$$

[ewert]

bubu gaga писал(а):

venja писал(а):

Подробнее пожалуйста, а то непонятно.
Как вы строите биекцию? Что там за диагональ?
Что значит "По диагонали выписываем число"?

Биекция строится вот таким способом


Диагональ появляется если расположить десятичные записи рациональных чисел друг под другом, упорядочив эти числа вышеупомянутым способом.

$i$-ый знак диагонального числа: $b$ вычисляется из $i$-го знака $i$-го числа из списка: $a^{(i)}$

$$\left\{ \begin{array}{l} b_{i} = a_i^{(i)} + 1, \; a_i^{(i)} < 9 \\ b_{i} = 0, \; a_i^{(i)} = 9 \end{array} \right.$$

Ну, картинка очень красивая и вполне стандартная. Однако ж вопрос:

Цитата:

По построению оно однако не совпадает ни с одним числом в списке,

Так кто конкретно с кем конкретно не совпадает?

[AD]

Если я все правильно понимаю, то всё верно. Единственное, что у вас нет отрицательных рациональных чисел на картинке

[bubu gaga]

ewert писал(а):

Так кто конкретно с кем конкретно не совпадает?

Выпишу по другому. С помощью картинки мы упорядочили числа, то есть по порядковому номеру можем найти рациональное число и для рационального числа найти его порядковый номер в списке. Список начинается так

$\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{3}{1}, \dots$

Выписываем эти числа в десятичной нотации

$ 1. \, 0 \, 0 \, 0 \, 0 \, \dots $
$ 2. \, 0 \, 0 \, 0 \, 0 \, \dots $
$ 0. \, 5 \, 0 \, 0 \, 0 \, \dots $
$ 0. \, 3 \, 3 \, 3 \, 3 \, \dots $
$ 3. \, 0 \, 0 \, 0 \, 0 \, \dots $

Число получается $2.1141\dots$.

Наверно мне надо было разъяснить откуда вопрос. С помощью схожего аргумента доказывается, что множество действительных чисел несчётно, а в упражнении был вопрос, мол как же так, с таким аргументом разве не получается, что и множество рациональных чисел несчётно?

[AD]

Конечно, не получится. Потому что тот факт, что мы не занумеровали какое-то иррациональное число, не противоречит никаким предположениям: мы и так сразу знали, что нумеровали только рациональные.

[bubu gaga]

AD писал(а):

Если я все правильно понимаю, то всё верно. Единственное, что у вас нет отрицательных рациональных чисел на картинке

Два счётных эквивалентны одному, тоже самое для несчётных, так что наверное это не так существенно?

[AD]

Да, конечно, несущественно, но формально вы не правы, потому что заявляли биекцию именно с $\mathbb{Q}$. Ну просто аккуратнее надо.

P.S. эээ ... ну я вас убедюл?

[bubu gaga]

AD писал(а):

Да, конечно, несущественно, но формально вы не правы, потому что заявляли биекцию именно с $\mathbb{Q}$. Ну просто аккуратнее надо.

P.S. эээ ... ну я вас убедюл?

Не математик я, и это проявляется хотя бы в неточности формулировок.

А насчёт убедили, да, я думаю что понял смысл упражнения. Спасибо за помощь!