2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Неопределенный интеграл
Сообщение28.11.2024, 11:42 
Аватара пользователя
Задача. Найти интеграл $\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}$.

Решение. $\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}=\int\frac{dx}{\frac{x^2}{x}\sqrt{x^2+1}}=-\int\frac{d\left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}}=-\ln\left|\frac{1}{x}+\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}\right|+C$.

Данный интеграл можно найти с помощью заменены переменной. Но если не применять замену переменной, то верно ли решение?

 
 
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение28.11.2024, 11:53 
Ёж в сообщении #1663111 писал(а):
Задача. Найти интеграл $\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}$.

Решение. $\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}=\int\frac{dx}{\frac{x^2}{x}\sqrt{x^2+1}}=-\int\frac{d\left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}}=-\ln\left|\frac{1}{x}+\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}\right|+C$.
Если бы я получил такой текст решения, я бы спросил: на каком основании поставлен последний знак равенства? Ибо никаких комментариев в решении на этот счет нет.

 
 
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение28.11.2024, 12:05 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #1663112 писал(а):
на каком основании поставлен последний знак равенства?
Табличный интеграл.

 
 
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение28.11.2024, 12:29 
Аватара пользователя
Ёж в сообщении #1663111 писал(а):
$\int\frac{dx}{\frac{x^2}{x}\sqrt{x^2+1}}=-\int\frac{d\left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}}$
При $x<0$ это неверно.

 
 
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение28.11.2024, 12:34 
Аватара пользователя
Ёж в сообщении #1663111 писал(а):
Данный интеграл можно найти с помощью заменены переменной.
Какой замены переменных?
(В приведённом решении как раз есть неявная замена переменной.)

 
 
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение28.11.2024, 15:43 
Аватара пользователя
RIP в сообщении #1663117 писал(а):
Ёж в сообщении #1663111 писал(а):
$\int\frac{dx}{\frac{x^2}{x}\sqrt{x^2+1}}=-\int\frac{d\left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}}$
При $x<0$ это неверно.


Вопрос возник как раз из-за этого. Т.е. здесь нужно рассмотреть два случая?
$\int\frac{dx}{\frac{x^2}{x}\sqrt{x^2+1}}=-\int\frac{d\left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}} $ , при $x>0$

$\int\frac{dx}{\frac{x^2}{x}\sqrt{x^2+1}}=\int\frac{d\left(\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}} $ , при $x<0$

 
 
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение28.11.2024, 17:32 
Утундрий в сообщении #1663114 писал(а):
Табличный интеграл.
Нет.

 
 
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение28.11.2024, 19:23 
Аватара пользователя
Ёж в сообщении #1663131 писал(а):
Т.е. здесь нужно рассмотреть два случая?
Да. Можно объединить одной формулой
$$-\operatorname{sgn}(x)\ln\left(\frac{1}{x}+\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}\,\right)+C=-\ln\left(\frac{1+\sqrt{x^2+1}}{\lvert x\rvert}\right)+C.$$
Здесь используется тождество
$$-\ln\left\lvert x+\sqrt{x^2+A}\,\right\rvert=\ln\left(-x+\sqrt{x^2+A}\,\right)+B,\quad x<0,$$
где $B=-\ln\lvert A\rvert=\mathrm{const}$. (Если $A<0$, то $x\leqslant-\sqrt{\lvert A\rvert}$.)

-- Чт 2024-11-28 19:32:35 --

nnosipov в сообщении #1663138 писал(а):
Утундрий в сообщении #1663114 писал(а):
Табличный интеграл.
Нет.
Частенько его включают в число табличных. Скажем, в Демидовиче это табличный интеграл.

 
 
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение28.11.2024, 20:43 
Аватара пользователя
Вообще, выносить из-под корня нужно честно: $\sqrt{x^2}=|x|$. Тогда и проблем не будет.

 
 
 
 Re: Неопределенный интеграл
Сообщение29.11.2024, 14:20 
Аватара пользователя
Спасибо большое за ответы!

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group