Операции с пустым множеством

[StudentV]

Здравствуйте.

Пусть дано множество $A$. Будут ли с точки зрения теории множеств ZFC формально верными следующие равенства?

$A \times \varnothing = \varnothing \times A = A$

Декартово произведение $A \times B$ - это множество упорядоченных пар $\{(a, b) | a \in A, b \in B \}$. Я не могу себе представить, что такое упорядоченная пара, один из элементов которой не существует. Это ее единственный существующий элемент $a \in A$? Или декартово произведение с пустым множеством не определено, как деление на ноль?

Я понимаю, что эти вопросы кажутся высосанными из пальца. Но мне бы хотелось понять, есть ли на них строгий правильный ответ или это дело соглашения, вроде вопроса, чему равен $0^0$.

Спасибо.

[dgwuqtj]

Нет, $A \times \varnothing = \varnothing \times A = \varnothing$. Независимо от выбора определения упорядоченной пары.

[Gagarin1968]

StudentV в сообщении #1662520 писал(а):

$A \times \varnothing = \varnothing \times A = A$

Нет, не так. Ведь множество упорядоченных пар пусто, а значит $A \times \varnothing = \varnothing $

[StudentV]

dgwuqtj в сообщении #1662524 писал(а):

Нет, $A \times \varnothing = \varnothing \times A = \varnothing$. Независимо от выбора определения упорядоченной пары.

Спасибо.

Давайте попробуем это доказать, опираясь на определение упорядоченной пары по Куратовскому.
$(a, b) = \{\{a\}, \{a, b\}\}$.
Не существует такого множества $\{a, b\}$, что $b \in \varnothing$, поскольку в $\varnothing$ нет ни одного элемента. Можно объяснить иначе: если бы такое множество $\{a, b\}$ существовало, оно имело бы непустое пересечение с $\varnothing$, равное $\{b\}$.

Следовательно, не существует и такого множества $\{\{a\}, \{a, b\}\}$, что $b \in \varnothing$. Поэтому ни одной упорядоченной пары нет. С определением по Винеру или любым другим можно проделать то же самое.

Так правильно?

[Anton_Peplov]

Можно еще проще.
Упорядоченная пара - это именно пара. Она состоит из двух элементов. Если допустить уравнение $(a, b) = (a)$, придется признать, что $2 = 1$. Откуда, строго по Расселу, следует, что Вы - Папа Римский.

[eugensk]

Именно, потому что если моделировать пару не по Куратовскому придется заново доказывать по Винеру и т.д., а потом я приду со своей моделью, и у вас не будет для неё доказательства :)
Можно же так:

Пусть $A \times \varnothing \ne \varnothing $.
Тогда $\exists a, b$ такие что $(a,b) \in A \times \varnothing $, $a \in A$, $b \in \varnothing$.
$b \in \varnothing$ быть не может, всё, доказали от противного.

[StudentV]

Всем спасибо, разобрался.