Понятие идеала на пальцах.

[Mikhail_2000]

Доброго времени суток!
Изучил понятие идеала в кольце (определения, базовые свойства, теорему гильберта о базисе), порешал простенькие задачки. Но не отпускает чувство, что это что-то сложное и непонятное.
А конкретнее:
Есть ли у идеала какой-либо еще смысл кроме того, что мы хотим факторизоваться по нему?(факторизация это аналог деления c остатком, как я понял).
В чем суть конечно порожденного идеала? Вроде бы это значит, что в идеале есть "базис", но мне кажется, что это не совсем так.
Допустим идеал $\{7k\}$ главный в $Z$. - "базис": $7$.
А идеал $\{xP(x) + (x^2+1)Q(x)\}$ порождается двумя элементами в $K[x]$ "базис": $x, x^2+1$.
Можете привести пример не конечно порожденного идеала (не в кольце $K[x_1, x_2, ...]$).
Можете объяснить то как Вы понимаете идеалы и конечно-порождённость на пальцах.
Возможно, идеи, зачем это нужно, привести простые аналогии.
Заранее спасибо за любые мысли и ответы!

[dgwuqtj]

Речь же идёт о коммутативных кольцах с единицей? Коммутативную алгебру проще воспринимать в контексте приложений в теории чисел или в алгебраической геометрии. С точки зрения теории чисел есть такой хороший класс колец, называется дедекиндовы кольца арифметического типа. Например, $\mathbb Z[1 + i \sqrt 5]$ (и вообще кольца целых элементов в конечных расширениях поля $\mathbb Q$). Такие кольца иногда являются областями главных идеалов, но обычно всё-таки есть неоднозначность в разложении на неразложимые элементы, как $2 \cdot 3 = (1 + i \sqrt 5) (1 - i \sqrt 5)$. Вот чтобы было проще жить, вместо разложения элементов на неразложимые раскладывают на идеалы,
\begin{align*} (6) &= (2)\, (3) = (1 + i \sqrt 5)\, (1 - i \sqrt 5) \\ &= (2, 1 + i \sqrt 5)\, (3, 1 + i \sqrt 5)\, (2, 1 - i \sqrt 5)\, (3, 1 - i \sqrt 5). \end{align*}
Для таких колец разложение в произведение максимальных идеалов уже единственно с точностью до перестановки (в примере 4 последних сомножителя максимальны). Так что в этом контексте идеалы — это "идеальные элементы" кольца в задаче факторизации.

В алгебраической геометрии кольцо $R$ — это кольцо функций на геометрическом объекте $X = \mathrm{Spec}(R)$ (аффинной схеме или, для начала, аффинном алгебраическом многообразии). Фактор-кольца $R$ соответствуют кольцами функций на замкнутых подобъектах $Z \subseteq X$, а идеалы — подмножествам функций из $R$, обнуляющихся на таком $Z$. Тут да, идеалы нужны ровно для факторизации кольца. Только я факторизацию воспринимаю не как деление с остатком, а скорее как переход к меньшему (и замкнутому) геометрическому подобъекту. В теории групп фактор-группы и нормальные подгруппы (или фактор-модули и подмодули в коммутативной алгебре) можно воспринимать как аналог разложения чисел на множители.

Если сложно воспринимать алгебро-геометрические конструкции, есть пример коммутативных $C^*$-алгебр с единицей. Каждому хаусдорфову (и метризуемому для удобства) компакту $K$ можно сопоставить алгебру непрерывных комплекснозначных функций на нём $\mathrm C(X)$. Максимальные идеалы этой алгебры соответствуют точкам $X$, произвольные идеалы — замкнутым подмножествам $K$, и фактор-алгебры по идеалам — это буквально такие же алгебры непрерывных функций на замкнутых подмножествах. В этом контексте и алгебры без единицы имеют смысл, они соответствуют локально компактным пространствам.

С точки зрения самой алгебры идеалы нужны не только для факторизации, а ещё для работы с модулями над кольцом. Скажем, в некоммутативной алгебре есть левые идеалы (например, $R x$), правые ($x R$) и двусторонние ($R x R$), из них только по двусторонним можно строить фактор-кольцо. А в книгах обычно больше внимания уделяется именно односторонним идеалам, та же нётеровость определяется в их терминах.

-- 22.11.2024, 19:42 --

Mikhail_2000 в сообщении #1662382 писал(а):

В чем суть конечно порожденного идеала? Вроде бы это значит, что в идеале есть "базис", но мне кажется, что это не совсем так.

Базисом надо бы называть набор независимых образующих, то есть чтобы идеал был свободным как модуль над основным кольцом. В этом смысле $(x, x^2 + 1)$ не будет базисом идеала, который они порождают в $K[x]$, так как $x (x^2 + 1) = (x^2 + 1) x$ — нетривиальное линейное соотношение между ними. Впрочем, конкретно этот идеал имеет базис $1$, это буквально всё кольцо.

Конечная порождённость — это просто одно из кучи возможных условий конечности на алгебраический объект. Скажем, для алгоритмов, которые работают с идеалами колец, конечная порождённость позволяет задавать эти идеалы явным образом (а иначе пришлось бы каждый раз думать, порождается ли идеал перечислимым множеством...). Просто есть та самая теорема Гильберта о базисе, что в конечно порождённых кольцах (вида $\mathbb Z[x_1, \ldots, x_n] / I$) и конечно порождённых алгебрах над полями все идеалы конечно порождены (т.е. эти кольца нётеровы). И поэтому во всех конечно порождённых модулях над ними все подмодули тоже конечно порождены. Это несколько удивительно, потому что для тех же групп это не так: бывают конечно порождённые неабелевы группы, у которых не все подгруппы конечно порождены. И для некоммутативных колец это не так. Как одно из следствий, любое коммутативное кольцо $R$ является прямым пределом нётеровых колец, даже своих подколец: $R = \bigcup_\alpha R_\alpha$, где $R_\alpha \subseteq R$ и $\alpha$ пробегает направленное множество. В счётно порождённом случае $R = R_1 \cup R_2 \cup \ldots$, где $R_1 \subseteq R_2 \subeteq \ldots$ все нётеровы. Это позволяет сводить кучу вопросов к нётеровому случаю.

Насчёт примера ненётерового кольца, алгебры типа $\mathrm C(K)$ не подойдут (там любой идеал порождается одним элементом). Я нагуглил такие примеры: кольцо всех целых алгебраических чисел $\mathbb A$ и кольцо всех непрерывных функций $\mathbb R \to \mathbb R$. В первом случае есть идеал $(2, \sqrt 2, \sqrt[4] 2, \sqrt[8] 2, \ldots)$, во втором — идеал из функций, обнуляющихся хоть на каком-то луче вида $[a, +\infty)$. Правда, в числовом случае не совсем очевидно, что $\sqrt[2^{k + 1}] 2$ не принадлежит идеалу $(\sqrt [2^k] 2)$, но это можно проверить просто сравнив нормы.

[nnosipov]

dgwuqtj в сообщении #1662387 писал(а):

Правда, в числовом случае не совсем очевидно, что $\sqrt[2^{k + 1}] 2$ не принадлежит идеалу $(\sqrt [2^k] 2)$

Да очевидно, потому что $1/\sqrt[2^{k + 1}] 2$ не является целым алгебраическим числом.

[dgwuqtj]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #1662415 писал(а):

Да очевидно, потому что $1/\sqrt[2^{k + 1}] 2$ не является целым алгебраическим числом.

И правда... Ну, тут в любом случае надо хотя бы знать определение целых алгебраических чисел и пару теорем, с функциями пример поэлементарнее.

[vpb]

Вот простой пример, для чего идеалы могут быть полезны. (Только я уж формул много писать не буду, извините, лень).

В школе проходят решение систем уравнений. Скажем, двух уравнений от двух неизвестных. Когда оба линейные, степени $1$ то есть, всё ясно. Когда одно линейное, а второе квадратное, вроде $2x+3y=5$, $5x^2-7y^2=10$, тоже ясно как решать. А если оба квадратные, типа $x^2+3y^2+6xy=7$ и $xy+6y=-4$ ? Или даже еще посложнее ? Вот тут-то идеалы и пригождаются. А как именно они помогают, об этом можно почитать в книге Кокс, Литл, О'Ши, Идеалы, многообразия и алгоритмы. (Книга очень доступно написана, если что.) Вообще же, решение полиномиальных систем --- это обширная наука, которая является частью еще более обширной и сложной, а именно коммутативной алгебры и алгебраической геометрии. И там тоже идеалы на каждом шагу.

Есть много и других мест, где нужны идеалы. Впервые они возникли, кажется, при изучении делимости в кольцах алгебраических чисел (грубо говоря, при доказательстве теоремы Ферма). Можете почитать Эдвардс, Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел.
(Говорят, хорошая книжка. Я посмотрел поверхностно --- вроде, так и есть. И да, конечно же, Боревич, Шафаревич, Теория чисел. )

Наконец, собственно в самой алгебре, для конструкции присоединения элемента к полю, хотя бы. (См. учебники ван дер Вардена, Кострикина, Калужнина. )

Вообще же, в чем "глубинный смысл" математического понятия --- мутный вопрос. Не забивайте себе голову. Подумайте лучше, а в чем польза понятия идеала сейчас лично для вас ? Наверное, в том, чтобы сдать экзамен ? Ну вот этим и ограничьтесь. Польза --- это вещь индивидуально-ситуативная. Скорее всего, всерьёз вам понятие идеала никогда в жизни и не понадобится. Если у вас нет конкретной задачи, над которой вы бы работали и которая бы вас сильно эмоционально затронула, и которая требует использования данного понятия, то у вас мало шансов это понятие прочувствовать. А как появится такая задача, то вы и разберетесь, в чем надо. (Иметь хороший мотив --- великое дело ! Я всю жизнь "понемногу хотел" изучить алгебраическую геометрию. И наконец, недавно у меня появилась действительно настоятельная нужда в том.).

[Sender]

Есть статья И. В. Аржанцева "Базисы Грёбнера и системы алгебраических уравнений", там сжато описывается связь идеалов в кольцах многочленов с решением САУ.
https://old.mccme.ru/free-books/dubna/arjantsev.pdf