Сосуд максимального объёма 2

[Padawan]

В продолжение темы https://dxdy.ru/post986053.html
Рассмотрим множество функций $y\in C^1([0,4])$ таких, что $S[y]=2\pi\int_0^4y\sqrt{1+y'^2}dx=\frac{3}{2}\pi$ (варианты: $2\pi$, $16\pi$, $17\pi$, $18\pi$, $100\pi$), $y(0)=0, y(4)=1$, $y(x)>0$ при $x\in(0,4]$. На множестве таких функций найти точную верхнюю грань функционала

$$ V[y]=\pi\int_0^4 y^2dx $$

[drzewo]

Мне кажется,

что стандартный метод множителей Лагранжа тут работает.

(Оффтоп)

$$L=\lambda_0 y^2+2\lambda_1y\sqrt{1+y'^2},\quad \lambda_0^2+\lambda_1^2\ne 0.$$

Интеграл энергии:

$$2\lambda_1y\frac{y'^2}{\sqrt{1+y'^2}}-\big(\lambda_0 y^2+2\lambda_1y\sqrt{1+y'^2}\big)=h.$$

Из условия $y(0)=0$ получаем $h=0$.
Случай $\lambda_0=0$ невозможен; случай $\lambda_1=0$ невозможен. -- В силу краевых условий.

Таким образом, нас интересует следующее семейство кривых на фазовой плоскости $(y,y')$

$$y=\frac{C}{\sqrt{1+y'^2}},\quad C\ne 0\qquad(*)$$

Нам надо подобрать константу $C$ что бы уравнение (*) имело решение $y(x),$

$$y(4)=1,\quad \lim_{x\to 0+}y(x)=0$$

-- 20.11.2024, 20:38 --

Padawan в сообщении #1662154 писал(а):

множество функций $y\in C^1([0,4])$

вот так, кстати, не получится. Там $\lim_{x\to 0+}y'(x)=\infty$

[drzewo]

Отзываю свое решение.

[Padawan]

На гладком решении может максимум не достигаться. Думаю, что имеет место такая ситуация: сначала функция равна нулю, потом вертикальный отрезок (дно сосуда) , потом гладкое решение уравнения Эйлера-Лагранжа, потом опять вертикальный отрезок (до горлышка сосуда).

И вот надо в этих точках перехода определить граничные условия.

Решение уравнения Эйлера-Лагранжа в старой теме обсуждалось. Я теперь выяснил, что это уравнение кривой https://en.m.wikipedia.org/wiki/Nodary, в частности (при $b=0$ ) -- окружность с центром на оси абсцисс.

-- Чт ноя 21, 2024 07:39:26 --

Хочу сегодня ещё попробовать методом оптимального управления решить эту задачу.

[drzewo]

У Ахизера в <<Вариационных методах>> теорема о множителях Лагранжа сформулирована для кусочно гладких экстремалей. Поэтому, думаю, что <<интеграл энергии>> -- это верное уравнение. Там надо просто дальше с константами работать иначе.
Надеюсь вечером будет время дорешать задачу в этой постановке

[Padawan]

Чтобы вертикальные отрезки вписать в схему кусочно-гладких экстремалей, надо задачу рассматривать в параметрической форме. Далее, задача допускает только односторонние вариации -- мы не можем сделать функцийю $y(x)$ отрицательной, а функцию $x(t)$ в параметрической форме -- убывающей. Поэтому эти куски кривой не обязаны быть экстремалями (вариация объема на них должна быть отрицательной при вариациях, сохраняющих площадь поверхности).

Я в условии добавил различные варианты значений площади поверхности.

Думаю, что ответ такой: при $\pi<S\leqslant 17\pi$ искомая кривая -- окружность с центром на оси $Ox$, проходящая через точку $(4,1)$ (соответствующий сосуд имеет форму сферического сегмента); при $S>17\pi$ у сосуда появляется доннышко, радиус которого растет с увеличением $S$, сама кривая становится той самой Nodary, причём $y'(0)=+\infty$, а $y(4)=1$, причём $y'(4)<0$ и убывает при возрастаниии $S$; при дальнейшем увеличении $S$ производная $y'(4)$ становится бесконечной, далее к кривой добавляется вертикальный отрезок (вокруг горлышка сосуда начинает расти плоское кольцо). Далее при возрастании $S$ характер профиля не меняется (вертикальный отрезок, Nodary, касающаяся прямых $x=0$ и $x=4$, вертикальный отрезок).

[drzewo]

Если $y(x)$ --разрывная функция -- то я пас

[Padawan]

Так в параметрической форме запишите $x=x(t)$, $y=y(t)$.

-- Чт ноя 21, 2024 08:49:20 --

В Ахиезере разобрана задача о минимальной площади поверхности вращения (ответ - катеноид). Там при определённых значениях граничных условий кривая вырождается в два вертикальных отрезка и отрезок оси $Ox$. Здесь такая же ситуация, только уравнения сложнее.