Спираль

[Утундрий]

Sender в сообщении #1662093 писал(а):

Накидать точек и соединить вручную.

Это уже не построение, а каллиграфия получается.

[EUgeneUS]

Можно ещё проще.
Вот такое свойство архимедовой спирали имеется:

Цитата:

Нормаль $MN$, проведенная через точку $M$ архимедовой спирали с шагом $a$, пересекает прямую $ON$, перпендикулярному полярному радиусу $OM$, в точке $N$, отстоящей от $O$ на расстоянии
$ON = \frac{a}{2 \pi}$

Тогда:
1. Строим вспомогательные лучи количеством кратным четырём.
2. На них строим точки спирали (пока всё как обычно)
3. Строим вспомогательную окружность радиусом $R = \frac{a}{2 \pi}$
Для построения такой окружности циркулем и линейкой без делений можно применять рациональные приближения $\pi$ нужной точности.
4. Далее понятно: для каждой точки спирали, отмеченной на вспомогательном луче, известен центр касательной в этой точке окружности - он лежит на пересечении вспомогательной окружности и перпендикулярном вспомогательном луче.

[Утундрий]

EUgeneUS в сообщении #1662098 писал(а):

Нормаль $MN$, проведенная через точку $M$ архимедовой спирали с шагом $a$, пересекает прямую $ON$, перпендикулярному полярному радиусу $OM$, в точке $N$, отстоящей от $O$ на расстоянии
$ON = \frac{a}{2 \pi}$

Ничего невозможно понять. Что за "пересекает прямую перпендикулярному полярному радиусу"?

[stalvoron]

. Как вариант??

[sergey zhukov]

Утундрий
Можно вращать лист бумаги. Берем "круглый лист бумаги", в центр втыкаем циркуль так, чтобы он в листе держался, но не протыкал лист насквозь.

Берем две линейки. По одной "катим" круглый лист бумаги, который вращается на иголке циркуля, а вторую линейку ставим под углом к первой, и по ней будет скользить грифель циркуля. Циркуль нужно перемещать "параллельным переносом". Скажем, третьей линейкой. Циркуль перемещаем, лист катится, ножки циркуля сходятся (или расходятся). Собственно, тут вместо циркуля можно только его иголку взять.

[Утундрий]

Тема только выиграет, если предлагающие своё решение сперва применят его на практике...

[sergey zhukov]

Диванные эксперты до практики не опускаются. И даже до общепризнанной теории.

[amon]

Вот такой способ мне нравится.

[=SSN=]

Утундрий в сообщении #1661952 писал(а):

Как построить спираль Архимеда при помощи циркуля и линейки?

Купите грампластинку! Получите две спирали по цене одной! Циркуль и линейку просто положите рядом с пластинкой. Это поможет!

[EUgeneUS]

Утундрий в сообщении #1662108 писал(а):

Ничего невозможно понять. Что за "пересекает прямую перпендикулярному полярному радиусу"?

Я это из справочника по математике переписал. И не понимаю, что тут непонятного.

1. Точка $M$ на спирали известна. Центр спирали $O$ известен.
2. $OM$ - порярный радиус точки $M$. Считайте его отрезком.
3. Через точку $O$ можно построить прямую, перпендикулярную $OM$ (назовем ее $p$)
4. В точке $M$ можно построить нормаль $n$ к спирали.
5. Свойство утверждает, что $p$ и $n$ пересекутся в некой точке $N$, причем длина отрезка $ON$ будет равна указанной.

Так как $n$ - нормаль, то окружность с центром в точке $N$ и радиусом $NM$ будет касательной к спирали.
Вот такими касательными окружностями и приближаем.

[EUgeneUS]

Утундрий в сообщении #1662012 писал(а):

1) Разматывал нитку с катушки. Муторно и неточно.

Кстати, по поводу этого способа.
Способ вполне годный, но требеут изготовления приспособлений.
Насколько будет "муторно и неточно" - зависит от приспособлений.
А приспособления будут зависеть от деталей - где, какого размера и с какой точностью нужно нарисовать спираль.
,

[Yadryara]

EUgeneUS в сообщении #1662134 писал(а):

И не понимаю, что тут непонятного.

А я понимаю, что может быть непонятного. Смотрим внимательно:

EUgeneUS в сообщении #1662098 писал(а):

пересекает прямую $ON$, перпендикулярному полярному радиусу $OM$,

EUgeneUS в сообщении #1662134 писал(а):

Через точку $O$ можно построить прямую, перпендикулярную $OM$

Крупный шрифт мой. Может и в учебнике ошибка, не исключаю. Главное что она может вызвать непонимание. Например: "Что ещё за перпендикулярный полярный радиус, чему он перпендикулярен??"

[Утундрий]

EUgeneUS
Ну, это похоже на ту же катушку с ниткой (по-научному эвольвента окружности).

[EUgeneUS]

Утундрий в сообщении #1662177 писал(а):

(по-научному эвольвента окружности)

Тащемто, эвольвента окружности не является архимедовой спиралью, а архимедова спираль не является эвольвентой окружности.
Поэтому все эти сматывания ниток с катушек конечного размера дают лишь приближение к архимедовой спирали, чем ближе к центру (к катушке) - тем хуже.
А свойство, которое я привел, является точным свойством архимедовой спирали.
Эту тонкую разницу видно хотя бы по тому, что нормаль $n$ не является касательной к окружности с центром в центре спирали $O$ и радиусом $R = \frac{a}{2 \pi}$

-- 20.11.2024, 18:44 --

По поводу сложностей построения приближения.
Метод, основанный на этом свойстве, вообще исключает мутоту с построением серединных перпендикуляров.
Нам нужно лишь
а) количество лучей, кратное $4$.
б) разметка этих лучей точками, в которых их пересекает спираль.
в) и вспомогательные точки, по одной на каждом луче, которые будут центрами дуг окружностей.

-- 20.11.2024, 18:48 --

Yadryara в сообщении #1662148 писал(а):

Может и в учебнике ошибка, не исключаю.

Это моя очепятка, конечно.

-- 20.11.2024, 19:00 --

Кстати, в рамках этой задачи пытался найти - какая кривая является эволютой архимедовой спирали... Но не нашёл. Видимо, там всё не очень просто.

При наличии эволюты на чертеже, кривую можно приближать дугами касательных окружностей с радиусом равным радиусу кривизны кривой - а это самое лучшее приближение дугами окружностей.

[Утундрий]

EUgeneUS в сообщении #1662182 писал(а):

Эту тонкую разницу

было бы гораздо проще заметить, если бы имелся какой-никакой, но рисунок. Ваши словесные описания... эээ... неоднозначны.

EUgeneUS в сообщении #1662182 писал(а):

Утундрий в сообщении #1662177 писал(а):

Может и в учебнике ошибка, не исключаю.

И процитировали неправильно: я этого не говорил.