СПБ олимпиада 2024

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1661927 писал(а):

Тут я имел в виду, что функция $f(x)=2^x$ выпукла и её график располагается выше касательной прямой.

Поскольку задача решена, выложу своё совсем неолимпиадное решение. Для выпуклой функции выполняется $f(x) \ge f(x^*)+ f'(x^*)(x-x^*)$ . В нашем случае для первого слагаемого получается оценка $\sqrt[97]{2} \ge 1+ \ln 2 /97$ . Выписывая аналогичные оценки для двух остальных слагаемых и сокращая на $\ln 2$ , приходим к очевидному неравенству $1/97+1/102 \ge 1/50$ .

[Stensen]

svv в сообщении #1661961 писал(а):

Stensen в сообщении #1661796 писал(а):

3. Андрей записал в тетрадку натуральные числа $n, \; n^2,\; n^3,\; n^4$. Оказалось, что в их записи цифры $4, 5, 6, 7, 8, 9$ использовались поровну раз, и цифры $0, 1, 2, 3$ поровну раз, причем цифра $0$ - на один раз больше, чем цифра $4$. На какую цифру начинается число $n$?

Назовём $n$ хорошим, если $T(n)\operatorname{mod}10=4$, а иначе плохим.
К Вам вопросы:
1) Хорошее ли число $2\cdot 10^m$ ?
2) Может ли $n$ быть хорошим, если $2\cdot 10^m\leqslant n<10^{m+1}$ ? Почему?

1) $T(2\cdot 10^m)=10m+5$ не хорошее
2) $2\cdot 10^m\leqslant n<10^{m+1}$ не может быть хорошим, т.к. $T(k \cdot 10^m){mod}10=\{5,6,8,9,0,0,0,0\} для $k=2,3,4,5,6,7,8,9$ соответственно.
3) Пусть число $n$, записанное Андреем, состоит из $m$ цифр: $4,5,6,7,8,9$ и $(m+1)$ цифр: $0,1,2,3$, тогда:

$D(n)=D(n^2)=D(n^3)=D(n^4)=10m+4$.

$T(n)=D(n)+D(n^2)+D(n^3)+D(n^4)=40m+16$ и $T(n){mod}10 =6$, т.е. число $n$ хорошим не является. Или я что-то не понял?

-- 19.11.2024, 14:37 --

мат-ламер в сообщении #1662026 писал(а):

Поскольку задача решена, выложу своё совсем неолимпиадное решение. Для выпуклой функции выполняется [math]$f(x) \ge f(x^*)+ f'(x^*)(x-x^*)$[/math .

Спасибо

[svv]

Stensen в сообщении #1662028 писал(а):

1) $T(2\cdot 10^m)=10m+5$ не хорошее

Да, верно, $T(2\cdot 10^m)=10m+5$. Откровенно плохое число.

Stensen в сообщении #1662028 писал(а):

2) $2\cdot 10^m\leqslant n<10^{m+1}$ не может быть хорошим

Тоже верно. Очевидно, $T(10^{m+1}-1)$ строго меньше $T(10^{m+1})=10m+14$.
И если $2\cdot 10^m\leqslant n<10^{m+1}$, то
$10m+5=T(2\cdot 10^m)\leqslant T(n) \leqslant T(10^{m+1}-1)<10m+14$
Т.е. хороших среди таких нет.

Выходит, хорошими могут быть лишь $10^m\leqslant n < 2\cdot 10^m$, а они все начинаются на единичку.

[Stensen]

svv в сообщении #1662039 писал(а):

$T(2\cdot 10^m)=10m+5$. Откровенно плохое число.
$2\cdot 10^m\leqslant n<10^{m+1}$ не может быть хорошим. Очевидно, $T(10^{m+1}-1)$ строго меньше $T(10^{m+1})=10m+14$.
И если $2\cdot 10^m\leqslant n<10^{m+1}$, то
$10m+5=T(2\cdot 10^m)\leqslant T(n) \leqslant T(10^{m+1}-1)<10m+14$
Т.е. хороших среди таких нет.

Выходит, хорошими могут быть лишь $10^m\leqslant n < 2\cdot 10^m$, а они все начинаются на единичку.

Спасибо. Я только не понял, почему если хорошее число начинается на единицу, то и число, придуманное Андреем, тоже начинается на единицу? Ведь Андреево число $n$ хорошим не является, оно состоит из $m$ цифр: $4,5,6,7,8,9$ и $(m+1)$ цифр: $0,1,2,3$, тогда:

$D(n)=D(n^2)=D(n^3)=D(n^4)=10m+4$

$T(n)=D(n)+D(n^2)+D(n^3)+D(n^4)=40m+16$

$T(n) \mod 10 =6$, т.е. число $n$ - не хорошее. Вы ранее написали, что число из условия -хорошее. Где я ошибаюсь?

[svv]

Stensen
Понятно.

Ну да, формально, условие задачи 3 допускает двоякое истолкование:
$\bullet$ в записи каждого из чисел $n, n^2, n^3, n^4$ было использовано столько цифр, сколько указано в условии (Stensen)
$\bullet$ для записи всех четырёх чисел $n, n^2, n^3, n^4$ вместе было использовано столько цифр, сколько в условии (svv)

Но много ли Вы можете указать таких натуральных $n$, что десятичная запись $n$ и $n^4$ потребует одинакового числа цифр? Т.е. таких, что $D(n)=D(n^4)$.

(Оффтоп)

А я ещё, увидев Вашу формулу $D(n)=D(n^2)=D(n^3)=D(n^4)=10m+4$, подумал, что это просто опечатка, вместо "плюсов" написали "равно".

[Stensen]

svv в сообщении #1662095 писал(а):

Ну да, формально, условие задачи 3 допускает двоякое истолкование:
$\bullet$ для записи всех четырёх чисел $n, n^2, n^3, n^4$ вместе было использовано столько цифр, сколько в условии (svv)

Но много ли Вы можете указать таких натуральных $n$, что десятичная запись $n$ и $n^4$ потребует одинакового числа цифр?

Спасибо, теперь понятно.

[Kira01]

мат-ламер в сообщении #1662026 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1661927 писал(а):

Тут я имел в виду, что функция $f(x)=2^x$ выпукла и её график располагается выше касательной прямой.

Поскольку задача решена, выложу своё совсем неолимпиадное решение. Для выпуклой функции выполняется $f(x) \ge f(x^*)+ f'(x^*)(x-x^*)$ . В нашем случае для первого слагаемого получается оценка $\sqrt[97]{2} \ge 1+ \ln 2 /97$ . Выписывая аналогичные оценки для двух остальных слагаемых и сокращая на $\ln 2$ , приходим к очевидному неравенству $1/97+1/102 \ge 1/50$ .

После второго предложения заблудился. Пришлось напрягать извилины. Выписав все оценки, складываем их и получаем
у>4+ln2*(1/97+1/102-1/50). Выражение в скобках >0 поэтому сумма корней больше 4

[Ende]

Kira01
Пожалуйста, оформляйте формулы в $\TeX$. И обращайтесь к собеседникам на "вы", они могут оказаться старше Вас в три раза.