Поле внутри конденсатора

[tupoy_vopros]

Я хочу найти поле внутри конденсатора следующим образом:
Выделю цилиндрическую поверхность, перпендикулярную одной из плоскости конденсатора, причем плоскость пересекает цилиндрическую поверхность по середине. Тогда по теореме Гаусса:
$D_{inside} - D_{outside} = 4 \pi \sigma S $
Как мне связать $D_{inside}$ и $D_{outside} $ ?

[Alex-Yu]

tupoy_vopros в сообщении #1661543 писал(а):

Как мне связать $D_{inside}$ и $D_{outside} $ ?

Никак. Если, конечно, конденсатор не бесконечно большой.

[tupoy_vopros]

Alex-Yu
Я позволю задать себе сразу три вопроса
1) Что будет в случае бесконечного конденсатора ?
2) Во всех учебниках, когда дают формулу для поля внутри конденсатора, это автоматически предполагают ?
3) С реальными конденсаторами это предположение хорошо согласовывается ?

[Serg53]

tupoy_vopros в сообщении #1661543 писал(а):

цилиндрическую поверхность, перпендикулярную одной из плоскости конденсатора, причем плоскость пересекает цилиндрическую поверхность по середине

Плоскости конденсатора не параллельны? Что значит "плоскость пересекает цилиндрическую поверхность по середине"? Может быть цилиндрическая поверхность пересекает плоскость по середине?

[tupoy_vopros]

Serg53
Вместо того что бы описывать это словами, с моей стороны лучше было бы изначально прислать картинку дабы избежать путаницы.

[sergey zhukov]

tupoy_vopros
Обычно считают, что $D_{outside}=0$ (если так обозначена плотность потока поля через торец цилиндра вне конденсатора), т.е. нет потока поля через торец цилиндра вне конденсатора. Есть только через торец цилиндра, который расположен в зазоре между пластинами. Это для больших пластин с маленьким зазором между ними (типа "бесконечный конденсатор").

[tupoy_vopros]

Я только сейчас заметил что неверно расписал формулу
$(D_{inside} + D_{outside})S = 4 \pi \sigma S $
Поток через основания цилиндра равен заряду внутри него

-- 16.11.2024, 11:40 --

sergey zhukov
Это потому что поле верхней плоскости будет компенсировать поле нижней плоскости ? Т.е. мы предполагаем что т.к. плоскости бесконечно большие, то поле не меняется с расстоянием.
И еще вопрос, а нужно ли это предположения для случае конденсатора, внутри которого нет диэлектрика ? Ведь тогда в силу симметрии задачи, поле которое создает одна плоскость одинакова с обоих сторон (если пренебречь краевыми эффектами)

[sergey zhukov]

tupoy_vopros
Если не предполагать, что пластины велики, а зазор мал, то поле внутри конденсатора (что пустого, что с диэлектриком) получается неоднородным, векторы электрического поля не будут всюду параллельны, снаружи конденсатора тоже обнаружится заметное поле (оно "выпирает" из конденсатора "вбок") и вообще все усложняется. Скажем, появляется поток поля через боковые стенки цилиндра и его торец вне конденсатора. А если пластины велики, а зазор, мал, то поле почти целиком сосредоточено между пластинами, и оно однородное, а векторы напряженности всюду параллельны. Причем это так и для вакуума, и для диэлектрика. Можно брать поля двух бесконечных пластин, заряженных противоположно, и складывать их.

[tupoy_vopros]

sergey zhukov
Спасибо, стало понятней.
Еще один вопрос который я хотел бы задать, теорема Гаусса включает себя поток только поля, которое создают заряды внутри поверхности, или внешнее тоже ?
Другими словами $D_{inside}, D_{outside}$ это суммарные поля, или.. Просто я знаю что поток поля через поверхность, если его источник находиться вне поверхности равен нулю

-- 16.11.2024, 12:04 --

(Наверное можно и так и так. В силу того что поток равен нулю если его источник находиться вне поверхности, то этот поток можно сложить с теоремой Гаусса и т.к. все векторы паралельны условной оси z то получить $D_{inside}S + D_{outside}S = 4 \pi \sigma S $, и тут суммарные поля, соответсвенно $D_{outside} = 0$ . Можно наверное и забить на внешние поля т.к. их поток равен нулю и получить $D'_{inside}S + D'_{outside}S = 4 \pi \sigma S $. Я так понимаю, это уже поля, которые создает поверхность площади $S$ внутри проводника, и тут уже $D_{outside}$ не равен нулю. А может быть такая формула и неверна.. ибо это поле будет пересекать и боковую часть цилиндра, поле этого куском плоскости $S$ уже не будет параллельна оси z и формула усложниться..)

[sergey zhukov]

tupoy_vopros
Теорема Гаусса говорит только об источниках, окруженных поверхностью. При этом все равно, что происходит вне поверхности. Поток электрического поля, просуммированный по всей поверхности, будет равен тому, что дают источники под поверхностью (в объеме). Под $D_{inside}$ и $D_{outside}$ можно понимать "поверхность внутри чего-то" и "поверхность вне чего-то". Например, торцы цилиндра внутри и вне конденсатора. Тогда это одно. А можно понимать это, как "площадка, на которой поле направлено в объем" и "площадка, в которой поле направлено из объема". Тогда $D_{inside}$ - это когда на выбранной площадке поверхности поле направлено внутрь объема (плотность входящего потока). А $D_{outside}$ - это когда на выбранной площадке поверхности поле направлено наружу из объема (плотность исходящего потока). Сами эти потоки (просуммированные по поверхности плотности потока) могут быть по отдельности какими угодно, но их сумма (т.е. по сути разность) должна зависеть только от заряда внутри объема. Например, если в объеме нет зарядов, или они компенсированы, то $D_{inside}$ и $D_{outside}$ могут быть в разных частях поверхности самыми разными, но если каждый проинтегрировать, то получится одинаковый результат (с точностью до знака).

Т.е. теорема Гаусса ничего не говорит о том, как именно поле распределено по выбранной поверхности. Она говорит только о том, что поток поля через эту поверхность (т.е. интегральная характеристика поля) должен определяться зарядом внутри объема, ограниченного этой поверхностью. И не важно, что происходит вне этого объема. Понятно, что есть множество распределений поля, имеющего данный поток на данной поверхности. Какое именно распределение мы имеем в данном случае - это уже зависит как раз от геометрии распределения зарядов внутри и вне нашего объема.

-- 16.11.2024, 13:31 --

tupoy_vopros в сообщении #1661610 писал(а):

внутри проводника

А причем тут "внутри проводника"? Внутри цилиндра, видимо.

Теорема Гаусса помогает искать электрическое поле обычно совместно с предположениями о виде этого поля. Скажем, мы говорим "Из симметрии задачи следует, что поле однородно, или что поле имеет радиальную или осевую симметрию". И тогда на выбранной согласно этому предположению поверхности поле у нас всюду обычно имеет одинаковую напряженность, и все просто.

[tupoy_vopros]

sergey zhukov

sergey zhukov в сообщении #1661611 писал(а):

Внутри цилиндра, видимо.

Да

Мне понятно все то что Вы сказали, но на мой вопрос это не совсем отвечает.
Пусть у меня есть заряженная бесконечная плоскость.
Выделю цилиндр как на Рисунке
Тогда по теореме Гаусса

$$\int\limits_{}^{} \vec{D_{s}}d\vec{S} = 4\pi \sigma S$$

Тут $D_s$, это поле которое создает только заряд $\sigma S$. Это поле не будет параллельным оси z.
Обозначу $D_{other}$ - поле, которое создает остальная часть плоскости. Ее поток через поверхность цилиндра, т.к. источник этого поля находиться вне поверхности цилиндра:

$$\int\limits_{}^{} \vec{D}_{other}d\vec{S} =0$$

Обозначу $ \vec{D} = \vec{D}_{other} + \vec{D}_{s}$
Тогда

$$\int\limits_{}^{} \vec{D}d\vec{S} = \int\limits_{}^{}\vec{D}_{other}d\vec{S} + \int\limits_{}^{}\vec{D}_{s}d\vec{S} = 0 + 4 \pi \sigma S = 4 \pi \sigma S$$

Из симметрии задачи, понятно что суммарное поле, равно $\vec{D}$, паралельно оси z. Тогда теорема Гаусса выглядит легко, поток через боковую поверхность цилиндра 0, и есть поток только через торцы:
$D_1 S + D_2 S = 4\pi\sigma S$.

Собственно, мой вопрос в том, что тут мы считаем поток через поверхность, который создают источники как внутри так и снаружи нашей поверхности (при этом равно это заряду внутри поверхности). Обычно так и формулируют теорему Гаусса, для общего поля. Но, при надобности, мы можем рассмотреть только поток который создают источники внутри, и будет верна формула

$$\int\limits_{}^{} \vec{D_{s}}d\vec{S} = 4\pi \sigma S$$

. В нашем случае последняя формула бесполезна по двум причинам. Во первых, в силу симметрии задачи мы знаем что поле, создаваемое всей плоскостью обладает симметрией, которая упрощает задачу, и теорему Гаусса нужно использовать именно для такого поля. Во вторых, даже если бы из формулы

$$\int\limits_{}^{} \vec{D_{s}}d\vec{S} = 4\pi \sigma S$$

мы каким то чудом нашли поле $ \vec{D_{s}}$ (пусть даже у нас другая задача, где этот интеграл ищется очень легко, и мы получим какое-то произведение $\vec{D_{s}}$ на площадь поверхности) то это нам все равно ничего не даст, ибо $ \vec{D_{s}}$ это поле создаваемое только зарядом внутри поверхности. А мы же хотим найти поле, создаваемое, например как в нашем случае, всей плоскостью.
Не ищите каких то прикладных аспектов в этом вопросе, он больше на мое понимание.

[Alex-Yu]

tupoy_vopros в сообщении #1661550 писал(а):

Я позволю задать себе сразу три вопроса
1) Что будет в случае бесконечного конденсатора ?
2) Во всех учебниках, когда дают формулу для поля внутри конденсатора, это автоматически предполагают ?
3) С реальными конденсаторами это предположение хорошо согласовывается ?

1) в бесконечном конденсаторе поля снаружи нет.
2) да.
3) если расстояние между пластинами много меньше размера пластин (что обычно и бывает), то да.

[sergey zhukov]

tupoy_vopros
Да просто в данном случае не нужно раскладывать единое электрическое поле на сумму от разных источников. Считайте, что поля разных источников "мешают" друг другу, силовые линии изгибаются при встрече. Скажем, если взять два источника несжимаемой жидкости в неограниченном пространстве, то поле скоростей жидкости для этого случая тоже можно построить, как сумму двух радиальных полей скоростей этих источников. Но понятно, что частицы жидкости текут вдоль искривленных линий тока, потоки жидкости двух источников на самом деле сталкиваются и не проходят друг сквозь друга.

Если у нас плоскость таких источников, то "свой" поток жидкости от каждого из них будет идти строго перпендикулярно плоскости.

[EUgeneUS]

tupoy_vopros в сообщении #1661621 писал(а):

Тут $D_s$, это поле которое создает только заряд $\sigma S$

Тут грубая ошибка. В теореме Гаусса, именно то поле, какое есть, они никак не делится на созданное зарядом внутри области и вне области.
Заряды вне области создают нулевой поток поля через поверхность, ограничивающую область.

-- 16.11.2024, 19:59 --

tupoy_vopros в сообщении #1661621 писал(а):

$$\int\limits_{}^{} \vec{D}d\vec{S} = \int\limits_{}^{}\vec{D}_{other}d\vec{S} + \int\limits_{}^{}\vec{D}_{s}d\vec{S} = 0 + 4 \pi \sigma S = 4 \pi \sigma S$$

Тут Вы, вроде бы сообразили, что поток поля через поверхность "со стороны зарядов вне области", ограниченной поверхностью, ноль. То есть:

$$\int\limits_{}^{}\vec{D}_{other}d\vec{S}=0$$

Но тогда:

$$\int\limits_{}^{} \vec{D}d\vec{S} = \int\limits_{}^{}\vec{D}_{other}d\vec{S} + \int\limits_{}^{}\vec{D}_{s}d\vec{S} = \int\limits_{}^{}\vec{D}_{s}d\vec{S}$$

Это и позволяет рассматривать поле "общее", "суммарное", какое есть, всё такое из себя симметричное и хорошее.
А заряды считать только те, которые внутри области.

[tupoy_vopros]

EUgeneUS
Да, корректней было бы записать сначала теорему Гаусса для общего поля

$$\int\limits_{}^{} \vec{D}d\vec{S} = 4 \pi \sigma S$$

, а потом с учетом того что внешний поток через поверхность равен нулю, получить что

$$ 4 \pi \sigma S = \int\limits_{}^{} \vec{D}d\vec{S} = \int\limits_{}^{}\vec{D}_{other}d\vec{S} + \int\limits_{}^{}\vec{D}_{s}d\vec{S} = \int\limits_{}^{}\vec{D}_{s}d\vec{S}$$

, т.е. эквивалентную "теорему Гаусса". В кавычках, ибо как Вы сказали, формулируется обычно теорема Гаусса для общего поля.