Параметризации ортогональных матриц

[Утундрий]

Всюду упоминают ровно две.

1) Преобразование Кэли: $Q=(E-A)(E+A)^{-1}$
2) Экспоненциал: $Q=\operatorname{Exp(A)}$

где $Q$ — ортогональная, $A$ — кососимметричная, а $E$ — единичная матрицы.

А бывают ли ещё?

[Padawan]

А какие ещё аналитические функции $f(z)$ отображают мнимую ось на единичную окружность? Для таких $f(A)$ будет ортогональной унитарной при антисмметричной антиэрмитовой $A$.

-- Сб ноя 16, 2024 09:50:41 --

Например, $f(z) =\exp(z^3)$.

[iifat]

Padawan в сообщении #1661589 писал(а):

$f(z) =\exp(-iz^3)$

Э-э-э... $f(-2i)=e^8$, или я чего-то путаю?

-- 16.11.2024, 18:01 --

Может, действительную ось? Или $\exp(z^3)$?

[Padawan]

iifat
Да, Вы правы. $z\mapsto z^3$ переводит мнимую ось в мнимую ось. То есть должно быть $f(z) =\exp(z^3)$.

[Утундрий]

Да, Прасолов упоминает этот аргумент. Но это же способ догадаться, а не строгий вывод?

[Padawan]

Нет, это строгий вывод. Функция от нормальной матрицы (нормальная - это которая коммутирует со своей сопряжённой) -- нормальная матрица. Нормальная приводится к диагональной форме в некотором ортонормированном базисе. И есть теорема об отображении спектров: $\sigma(f(A)) =f(\sigma(A)) $ для функции $f(z) $, аналитической в окрестности $\sigma(A) $.

[Утундрий]

Собственно, для чего это нужно. Мне интересно, какие формы может принимать такой вот зверус грандиозус: $Q'Q^T$. Где $Q$, как и раньше, ортогональная, а штрих обозначает производную по параметру, от которого зависит $Q$. Интересны размерности от четырёх и выше, в коих вычисления получаются довольно муторными, что для пункта 1), что для пункта 2) стартового сообщения. Вот и подумалось, может кого-то другого взять и в процессе вычисления зверуса как-нибудь подкрутить?

[svv]

Утундрий в сообщении #1661666 писал(а):

Мне интересно, какие формы может принимать такой вот зверус грандиозис: $Q'Q^T$.

Эта штука — кососимметричная матрица. И, наоборот, пусть $A(p)$ — кососимметричная матрица (нужная гладкость зависимости от параметра $p$ предполагается). Тогда существует такая ортогональная $Q(p)$, что $A=Q'Q^T$: задаём $Q(p_0)$ и решаем ДУ $Q'=AQ$.

[Утундрий]

Одинаковые имена для разных матриц это не есть хорошо. Закрепим за $Q'Q^T$ в этой теме обозначение $F$.

[drzewo]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1661677 писал(а):

нужная гладкость зависимости от параметра $p$ предполагается

суммируемости хватит

[Red_Herring]

Существует много преобразований окружности. Более того, существует трехпараметрическое семейство единичного диска , все комфортные преобразования описываются $w=e^{i\theta} \dfrac{z-a}{1-z\bar{a}}$ где $a$ принадлежит этому диску.

Называется преобразование Мёбиуса.

[Утундрий]

Мне надобно пройтитьсь и всё это основательно обдумать.