Пространство с нормой не является полным

[DariaRychenkova]

Замечание. Рассмотрим нормированное пространство $C[a, b]$ с нормой $\|f\|_{\infty}=\max _{[a, b]}|f|$. Тогда по теореме 4 (Специальный критерий сходимости) $f_n \xrightarrow{n \rightarrow \infty} f$ в метрике $\rho(f, g)=\|f-g\|_{\infty} \Longleftrightarrow f_n \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{\stackrel{[a, b]}{\longrightarrow}} f$.

Замечание. $C[a, b]$ с нормой $\|\cdot\|_{\infty}$ - полное (банахово) пространство.
Доказательство. ( $f_n \in C[a, b], n \in \mathbb{N}$ ) - фундаментальная последовательность по $\|\cdot\|_{\infty}$. По теореме 3 (Критерий Коши равномерной сходимости) $\left(f_n, n \in \mathbb{N}\right)$ сходится равномерно на $[a, b]$. Поэтому $\exists f=\lim _{n \rightarrow \infty} f_n \in$ $\in C[a, b]$.

Замечание. $C[a, b]$ с нормой $\|f\|_2=\sqrt{\int_a^b f^2(x) \mathrm{d} x}$ не является полным.


Вот отрывок из Википедии:

Наряду с чебышёвской нормой часто рассматривается пространство непрерывных функций с интегральной нормой:

$$ \|x\|=\int_a^b|x(t)| d t $$

В смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций уже не образует полного линейного пространства. Фундаментальной, но не сходящейся в нем является, например, последовательность $x_n$

$$ x_n(t)=\left\{\begin{array}{l} 1, \quad t \geqslant \frac{1}{n} \\ n t, \quad t \in\left(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right) \\ -1, \quad t \leqslant-\frac{1}{n} \end{array}\right. $$

Выходит, для доказательства последнего замечания нужна эта последовательность? Я изначально ломала голову, как бы расписать неравенство на разность под нормой

[drzewo]

простите, а в чем пафос?

[dgwuqtj]

DariaRychenkova в сообщении #1661092 писал(а):

Выходит, для доказательства последнего замечания нужна эта последовательность?

Вы же заметили, что в замечании $L_2$-норма, а в отрывке $L_1$-норма? Для доказательства замечания именно эта последовательность не необходима, можно взять любую другую.

[drzewo]

я бы взял последовательность $x_n(t)=t^n,\quad t\in[0,1]$
оно как-то попроще вычислять

[DariaRychenkova]

dgwuqtj

А
Благодарю

-- 10.11.2024, 16:41 --

drzewo

Спасибо за помощь!