Уравнение диофанта 4-й степени

[mathpath]

Есть уравнение диофанта 4-й степени с тремя неизвестными разной степени, для которых нужно найти натуральные корни
Можно записать три формы для таких уравнений
$x^2 + y^3 = z^4$
$x^2 + y^4 = z^3$
$x^3 + y^4 = z^2$

Поиск показывает, что каждая форма может иметь бесконечно много решений

По следующей ссылке
https://gaurish4math.wordpress.com/wp-c ... h-rev4.pdf
на странице 5 показано, что похожее уравнение
$x^2 = y^3 + z^5$
имеет бесконечное число натуральных корней
Там выводятся две параметризации, одна из которых выглядит так:
$x = n^{10}(n+1)^8$
$y = n^7(n+1)^5$
$z = n^4(n+1)^3$

Я попробовал применить этот метод , но у меня он не хочет работать

У меня вопрос: можно ли такую параметризацию применить сразу ко всем трем уравнения выше ?

[mihiv]

Предположим, что для уравнения $x^2+y^3=z^4$ существует параметризация решений в виде полиномов:

$$x(n)=n^{a_1}(n+1)^{b_1},y(n)=n^{a_2}(n+1)^{b_2},z(n)=n^{a_3}(n+1)^{b_3}$$

Тогда должно выполняться тождество:

$$x^2(n)+y^3(n)\equiv z^4(n)\eqno (1)$$

Положим в $(1) n=1$, получим:

$$2^{2b_1}+2^{3b_2}=2^{4b_3}$$

Сумма полученных степеней двойки может быть равна степени двойки только если $2b_1=3b_2$, но в этом случае $2b_1+1=4b_3$, что невозможно.

[mathpath]

mihiv писал(а):

Предположим, что для уравнения $x^2+y^3=z^4$ существует параметризация решений в виде полиномов

Для уравнения
$x^2 = y^3 + z^4$

такая же фигня

Хотя вариантов решения в целых - до бесконечности

[nimepe]

$x^2+y^3=z^5$ имеет следующее решение:

$x=kp(k^2p^2+m^3)^{15t-3}$
$y=m(k^2p^2+m^3)^{10t-2}$
$z=(k^2p^2+m^3)^{6t-1}$
Уравнение $x^2+y^4=z^3$ имеет решение:

$x=kp(k^2p^2+m^4)^{12t+4}$
$y=m(k^2p^2+m^4)^{6t+2}$
$z=(k^2p^2+m^4)^{8t+3}$

-- 08.02.2025, 16:00 --

Уравнение $x^2+y^3=z^4 $ имеет решение:

$ x=m(k^4p^4-m^2)^{6t-2}$
$y=(k^4P^4-m^2)^{4t-1}$

$z=kp(k^4p^4-m^2)^{3t-1}$

-- 08.02.2025, 16:11 --

Уравнение$x^3+y^4=z^2$ имеет решение:

$x=(k^2p^2-m^4)^{8t+3}$
$y=m(k^2p^2-m^4)^{6t+2}$

$z=kp(k^2p^2-m^4)^{12t+4}$

[mathpath]

nimepe в сообщении #1673736 писал(а):

$x^2+y^3=z^5$ имеет следующее решение:

$...$

Ого
Ваше решение впечатляет
А может такое быть, что самих решений бесконечно много ?

[mihiv]

$kp$, видимо, можно заменить одной буквой: $kp=n?$