интеграл Лебега/ действительный анализ

[Bober2]

Добрый день, уважаемые участники форума. Меня заинтересовал следующий вопрос:
Вот если я возьму непрерывную функцию $f$ на отрезке, которая задаёт плотность вероятностной меры, и умножу её на функцию $h$: $0 \leq h(x) \leq 1$, а потом проинтегрирую, то я смогу найти такое число $a$ в интервале $[0,1]$, что $\int_{0}^{1} a \cdot f(x) dx = \int_{0}^{1} h(x) \cdot f(x) dx$. А верно ли это для произвольного числа функций $f_1,...,f_n$? Т.е. правда ли, что я могу построить кусочную функцию $z(x)$ со значениями в $[0,1]$, что $\int_{0}^{1} z(x) \cdot f_k(x) dx = \int_{0}^{1} h(x) \cdot f_k(x) dx \quad \forall k$?
Мне кажется, что я умею доказывать это для случая $n=2$, но мой способ не обобщается на произвольное натуральное $n$. Буду рад, если кто-то подскажет идею, или скинет ссылку, где разбиралась подобная задача.

-- 04.11.2024, 15:59 --

Тот факт, что существует просто такая кусочная функция $z(x)$ я, думаю, тоже умею доказывать. Но правда ли, что существует $z(x)$ со значениями в $[0,1]$ - мне не ясно

[mihaild]

Что тут понимается под кусочной функцией?

[Bober2]

Под кусочной функцией я понимаю следующее:
$z(x) = c_1 \cdot I_{[0,a_1)} + ... + c_n \cdot I_{[a_{n-1},1]}$
Т.е. функцию, которая является конечной линейной комбинацией индикаторов полу-интервалов

[Bober2]

Появилась у меня такая мысля:
Кусочную функцию $z(x)$ будем называть $n$-значной кусочной функцией, если она принимает не более$n$ значений.
$f_1,...,f_n$ - функции из условия задачи. Если мы докажем, что при $n+1$-значной кусочной функции $h(x)$ можно выбрать $n$-значную кусочную функцию $z(x)$ (я это пока делать не умею, но это выглядит проще, чем исходная постановка задачи), то по индукции можно показать, что для кусочной функции $h(x)$ можно выбрать $n$-значную кусочную функцию $z(x)$. Теперь рассмотрим следующие множества:
$X=\{(a_1, a_2, ..., a_n)| a_1+...+a_n=1, a_k \geq 0 \quad \forall k\}$
$Y=\{(b_1, b_2, ..., b_n)| 0 \leq b_k \leq 1 \quad \forall k\}$
Очевидно, что $X \times Y$ - компакт.
Теперь построим отображение $F: X \times Y \rightarrow \mathbb R^n$ следующим образом:
$(a_1,...,a_n, b_1,... b_n)$ - точка компакта $X \times Y$. Разобьём интервал $[0,1]$ на $n$ кусков с длинами $\{a_1,...,a_n\}$ соответственно. Теперь на этих отрезках функция $z(x)$ будет принимать значения $\{b_1,...,b_n\}$ соответственно. И в итоге, образом данной точки будет - $(\int_0^1 f_1(x) \cdot z(x) dx,..., \int_0^1 f_n(x) \cdot z(x) dx) \in \mathbb R^n$. Образ компакта - компакт. Если есть какая-то непрерывная функция $h(x)$, то её можно аппроксимировать кусочной функцией $\tilde{h}(x)$. По утверждению, которое я не могу доказать, для $\tilde{h}(x)$ найдётся $n$-значная кусочная функция $z(x)$. Тогда мы получаем последовательность в компакте, сходящуюся к $$(\int_0^1 f_1(x) \cdot h(x) dx,..., \int_0^1 f_n(x) \cdot h(x) dx)$.

[Bober2]

Идея, как можно решать задачу про $n$-значные функции на примере двух функций:
$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} a \cdot \int_A f(x) dx + b \cdot \int_{[0,1] - A}f(x) dx = c_1 \cdot \int_0^\alpha f(x) dx + c_2 \cdot \int_\alpha^\beta f(x) dx + c_3 \cdot \int_\alpha^1 f(x) dx \\ a \cdot \int_A g(x) dx + b \cdot \int_{[0,1] - A}g(x) dx = c_1 \cdot \int_0^\alpha g(x) dx + c_2 \cdot \int_\alpha^\beta g(x) dx + c_3 \cdot \int_\alpha^1 g(x) dx\end{array}\right. \end{equation}$
Требуется найти такие $0 \leq a,b \leq 1$ и $A = [0,\delta)$. Давайте рассмотрим две функции $F,G: [0,1]^3 \rightarrow \mathbb R^2$

$F(a,b,\delta) = (a \cdot \int_0^\delta f(x) dx + b \cdot \int_\delta^1f(x) dx, \quad a \cdot \int_0^\delta g(x) dx + b \cdot \int_\delta^1g(x) dx)$
$G(c_1,c_2,c_3) = (c_1 \cdot \int_0^\alpha f(x) dx + c_2 \cdot \int_\alpha^\beta f(x) dx + c_3 \cdot \int_\alpha^1 f(x) dx, \quad c_1 \cdot \int_0^\alpha g(x) dx + c_2 \cdot \int_\alpha^\beta g(x) dx + c_3 \cdot \int_\alpha^1 g(x) dx)$
Функция $G$ - линейна. Если бы функции $f(x), g(x)$ были бы кусочными, то $F$ была бы кусочно-линейна. Нетрудно заметить, что образ границы куба при отображении $G$ будет содержаться в $F([0,1]^3)$. Но тогда в силу кусочно-линейности $F$ у нас весь образ $G([0,1]^3)$ содержится в $F([0,1]^3)$. (Вот тут я мог сказать глупость. Мне интуитивно это кажется верным, но пока я это никак не обосновывал).
Ну тогда, видимо, если мы будем аппроксимировать $f$ и $g$ кусочными функциями, то в пределе, мы получим, что $G([0,1]^3) \subset F([0,1]^3)$

-- 04.11.2024, 21:36 --

Буду благодарен, если кто-нибудь укажет на недостатки и предложит способ, как довести до ума доказательство

[mihaild]

Bober2 в сообщении #1660659 писал(а):

Нетрудно заметить, что образ границы куба при отображении $G$ будет содержаться в $F([0,1]^3)$. Но тогда в силу кусочно-линейности $F$ у нас весь образ $G([0,1]^3)$ содержится в $F([0,1]^3)$.

Я не понимаю, почему это могло бы быть правдой. Для функций $\mathbb R \to \mathbb R^2$ это неправда: возьмем $G$, которая отображает отрезок в диагональ квадрата, а $F$ - в обход сторон. Тут вроде бы что-то про выпуклость надо, а не про линейность...

[Bober2]

Да, думаю Вы правы. А у Вас есть предложение как обосновать выпуклость?

[Bober2]

Bober2 в сообщении #1660659 писал(а):

Нетрудно заметить, что образ границы куба при отображении $G$ будет содержаться в $F([0,1]^3)$

Вот тут я соврал. Я не рассматривал случаи, когда $(c_1,c_2,c_3) = (1,c_2,c_3)$. Есть ли у кого-нибудь предложение, как это исправить?
Хотя тут и случай $(c_1,c_2,c_3) = (0,c_2,c_3)$ мне не очевиден.

-- 04.11.2024, 23:28 --

Кстати, образ границы куба $[0,1]^3$ при отображении $G$ совпадает с образом $G([0,1]^3)$. Поэтому вопрос сводится просто к рассмотрению двух случаев:
1) $(c_1,c_2,c_3)=(1, c_2, c_3)$
2) $(c_1,c_2,c_3)=(0, c_2, c_3)$

[Bober2]

Можно ещё рассмотреть другую задачу:
Пусть $V$ - пространство простых функций. Рассмотрим оператор $A: V \rightarrow \mathbb R^n$:
$V(h) = (\int_0^1 f_1\cdot h dx,..., \int_0^1 f_n\cdot h dx)$
Правда ли, что образ единичного шара - компакт? Тот факт, что он содержится в компакте - вопросов не вызывает, но можно ли показать замкнутость образа единичного шара?

-- 05.11.2024, 02:35 --

Не уверен, проще ли эта задача, чем исходная. Но может быть, что-нибудь да выйдет.

[mihaild]

Bober2 в сообщении #1660695 писал(а):

Пусть $V$ - пространство простых функций

А с какой нормой? Со всеми стандартными оно не банахово.

Вообще хорошая задача. На первый взгляд кажется что должно быть просто, но мне пока даже не понятно, доказывать или искать контрпример.

[Bober2]

Секундочку! Рассмотрю я на $V$ просто линейный функционал $A^{\sim}$:
$A^{\sim} (h) = \int_0^1 g(x) \cdot h(x) dx$
Я утверждаю что образ единичного шара компакт. Потому что образ единичного шара в $L^{\infty}$ будет компактом, а поскольку мы рассматриваем одномерный случай, то образ единичного шара в $V$ совпадает с образом единичного шара $L^{\infty}$.
Получается, что если я рассмотрю образ единичного шара при отображении $A$, то он будет пересекаться с любой прямой, проходящей через ноль, по компактному подмножеству $\mathbb R^n$. Получаем следующее:
В $\mathbb R^n$ есть выпуклое множество, которое при пересечении прямой, проходящей через ноль, даёт компакт. Тогда оно само должно быть компактным

-- 05.11.2024, 02:57 --

mihaild в сообщении #1660696 писал(а):

Bober2 в сообщении #1660695 писал(а):

Пусть $V$ - пространство простых функций

А с какой нормой? Со всеми стандартными оно не банахово.

Вообще хорошая задача. На первый взгляд кажется что должно быть просто, но мне пока даже не понятно, доказывать или искать контрпример.

Норма индуцированная из $L^{\infty}$. То, что оно не Банахово - согласен.

-- 05.11.2024, 02:59 --

mihaild в сообщении #1660696 писал(а):

Вообще хорошая задача. На первый взгляд кажется что должно быть просто, но мне пока даже не понятно, доказывать или искать контрпример.

Если докажите, то я буду рад))) А если найдёте контр-пример, то я расстроюсь. Я вверху написал некоторые рассуждения, но проверять я их буду завтра, а то уже поздно.

-- 05.11.2024, 02:59 --

[mihaild]

Bober2 в сообщении #1660697 писал(а):

$A^{\sim} (h) = \int_0^1 g(x) \cdot h(x) dx$
Я утверждаю что образ единичного шара компакт

$g$ всё еще неотрицательна? Тогда этот образ - просто отрезок $[-\|g|_1, \|g\|_1]$, все значения достигаются на постоянной функции.

Bober2 в сообщении #1660697 писал(а):

а поскольку мы рассматриваем одномерный случай, то образ единичного шара в $V$ совпадает с образом единичного шара $L^{\infty}$

Вот этого я не понимаю (в частности если ограничения на неотрицательность $g$ нет, то это неправда), но неважно.

Bober2 в сообщении #1660697 писал(а):

Получается, что если я рассмотрю образ единичного шара при отображении $A$, то он будет пересекаться с любой прямой, проходящей через ноль, по компактному подмножеству $\mathbb R^n$.

А вот это уже непонятно. Как связаны пересечения образа с прямой, и образ в одномерном случае?