Доказать формулу для суммы m нормальных кривизн.

[DariaRychenkova]

Задача. Пусть $k_1, \ldots, k_m$ - нормальные кривизны поверхности в направлениях нормальных сечений, рассекающих касательную плоскость на равные углы $\pi / m$. Докажите, что $k_1+\ldots+k_m=$ $\frac{m H}{2}$.

Мои мысли:

Пусть

$$ H = \frac{k_1 + k_2}{2}, $$

где $( k_1 )$ и $( k_2 )$ — главные кривизны в двух перпендикулярных направлениях.


Можно выразить каждую нормальную кривизну $( k_i )$ в зависимости от главных кривизн $( k_1 )$ и $( k_2 )$ по теореме Эйлера для нормальной кривизны в данном направлении:

$$ k_i = k_1 \cos^2(\theta_i) + k_2 \sin^2(\theta_i), $$

Дальше можно было бы посчитать частичные суммы рядов, ответ получился бы, но...

У меня нет идей, как найти $( \theta_i )$

Буду благодарна за помощь

[Утундрий]

DariaRychenkova в сообщении #1660072 писал(а):

У меня нет идей, как найти $( \theta_i )$

Попробуйте почитать инструкцию к формуле Эйлера.