Решение без формул эквивалентности

[artempalkin]

У меня есть студент с ВМК 1 курс. Вот мы решаем с ним задачу на первом занятии (573 Демидович) (везде $x\to0$):
$\lim\left(2e^{\frac x{x+1}}-1\right)^{\frac{x^2+1}x}=\{$второй замечательный предел$\}=\exp\left(\lim2\left(e^{\frac x{x+1}}-1\right)\frac{x^2+1}x\right)=\{$формула эквивалентности, а также замена множителей на их пределы$\}=$\exp\left(2\lim\frac x{x+1}\frac 1x\right)=e^2$
Здесь я существенно использую, что $e^u-1\sim u$, если $u\to0$. Он говорит: но мы формулы эквивалентности не проходили, этот шаг нужно дополнительно обосновывать. Я в полном недоумении: как можно дополнительно обосновать этот шаг? вывести формулу эквивалентности? естественно, пока что он не предоставил мне никаких примеров, как они сами решали подобные задачи в классе. Но тем не менее вопрос, что думаете?

[Sender]

Формулу Тейлора тоже не проходили?

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1659862 писал(а):

Он говорит: но мы формулы эквивалентности не проходили, этот шаг нужно дополнительно обосновывать. Я в полном недоумении: как можно дополнительно обосновать этот шаг?

А что вообще известно к этому моменту про экспоненту?

[artempalkin]

mihaild
Ну я бы сказал, что известен второй замечательный предел. Понятно, что в принципе известно понятие показательной функции. Но даже непрерывность - это следующая тема.
Возможно, можно вывести эту формулу из второго замечательного предела?

-- 28.10.2024, 16:45 --

Sender
Нет, конечно, до производной еще далеко

-- 28.10.2024, 16:45 --

Sender
Нет, конечно, до производной еще далеко

[drzewo]

(Оффтоп)

да, уж, репетиторством теперь кто только не подрабатывает

[Combat Zone]

artempalkin в сообщении #1659862 писал(а):

Он говорит: но мы формулы эквивалентности не проходили, этот шаг нужно дополнительно обосновывать.

Умный какой. А что предыдущий шаг нужно обосновывать, он заметил, надеюсь? И что там, по сути, используется непрерывность экспоненты? (Ну или, по выбору, теорема о пределе сложной функции, именно та часть, где потребуется непрерывность экспоненты.)

Боюсь, придется ознакомиться хотя бы с этим материалом, иначе он и предыдущие пределы не решит.
Ваша эквивалентность доказывалась в номере 541, решите заново, пусть и повторит заодно, и запомнит. На будущее. А здесь, раз уж их не было, можно вместо эквивалентностей писать соотв. им пределы.

И чтобы путаницы в степенно-показательных функциях не было, отныне и навсегда, обычно приучают сразу приводить к экспоненциальному виду, а потом уже переходить к пределу, дифференцировать или что там еще было надо.

[Shadow]

Нy, $1+u \sim e^u$ сразу выводится из второго замечателного предела, т.к

$1+u=\left[(1+u)^{\frac 1 u}\right]^u$

[Combat Zone]

Shadow в сообщении #1659937 писал(а):

$1+u \sim e^u$

Ну не пишут так. Второе слагаемое слева тут веса не имеет.
И так сразу не выводится. Меня учили, что внутре :) нельзя к пределу переходить, даже если очень хочется. Но выводится довольно быстро, да. В одно-два действия, в зависимости от фантазии.

[Shadow]

Combat Zone в сообщении #1659939 писал(а):

И так сразу не выводится

$e^x=\dfrac{e^x}{1+x}\cdot (1+x)=\dfrac{e^x}{[(1+x)^{1/x}]^x}\cdot (1+x)$

и к пределам. Так выводится?

(Оффтоп)

Когда мне нечего полезного сказать по теме, обычно молчу.

[Combat Zone]

Shadow в сообщении #1659941 писал(а):

$e^x=\dfrac{e^x}{1+x}\cdot (1+x)=\dfrac{e^x}{[(1+x)^{1/x}]^x}\cdot (1+x)$

$e^x=\dfrac{e^x}{\sqrt{1+2x}}\cdot (\sqrt{1+2x})=\dfrac{e^x}{[(1+2x)^{1/(2x)}]^x}\cdot (\sqrt{1+2x})$
Правильно?

Shadow в сообщении #1659941 писал(а):

Когда мне нечего полезного сказать по теме, обычно молчу.

Если это камень в мой огород, все полезное с моей стороны уже было. Номер 541.

ТС продвинутый товарищ, он знает, как считать нужный предел. У него вопрос не в этом, а как обойтись без слова эквивалентность. Так и обойтись. Считать нужные пределы.

(Оффтоп)

Shadow, это я не к тому, чтобы вас как-то задеть. Вы еще лучше.

[Shadow]

(Оффтоп)

Combat Zone, Вторую формулу я в данной теме я не нашел. Насколько я понимаю, она спрятана где-то под номером 541, но все равно не нашел. Возможно я плохо ищу, но корректные ссылки на форуме никто не запрещал.

[Combat Zone]

Shadow
Цель моего примера была в том, чтобы вы обратили внимание, что вашей логикой с тем же успехом будто бы доказывается эквивалентность другой функции, а не вот это все.

(Оффтоп)

На этом форуме люди постоянно ссылаются на какие-то источники, которые часто приходится скачивать, чтобы прочитать то, что тебя заинтересовало. Я не вижу в этом ничего особенного, коль уж оно меня заинтересовало. В данном случае номер как ссылку я привожу с чистой совестью, т.к. отвечаю ТС, у которого этот задачник заведомо есть. Скачает ли его кто-то еще - дело второе.

И послушайте, неужели все это так важно? Вот то, что эквивалентность эту нельзя писать так, как у вас написано, - то есть можно, но она несет другую информацию, чем та, что имелась в виду, - это реально важно. Эту эквивалентность можно спокойно заменить эквивалентностью экспоненты единице. Которую вы и доказываете. И я тоже доказываю именно ее. Длинно и ненужно. Потому что эквивалентность экспоненты единице в нуле очевидна. И толку в ней никакой.

Для тех, у кого, конечно, есть Демидович, но внезапно нет времени.
Номер 541.
Вычислить $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac {a^x -1}{x}, \quad a>0 $

(Оффтоп)

Ну да, а какой еще считать предел, если нет доказанной эквивалентности?

Для нашей задачи достаточно взять $a=e$.

[EUgeneUS]

Combat Zone в сообщении #1659936 писал(а):

На будущее. А здесь, раз уж их не было, можно вместо эквивалентностей писать соотв. им пределы.

плюс 100500
В бытность студентом решал (и не я один, а весь поток ) задачи из Демидовича вообще без привлечения понятия "эквивалентности функций".

ИМХО,
а) проблема студента в том, что ему могли действительно не дать (и вообще, даже не планировать давать) понятие "эквивалентности функций". Но это не особая проблема, если вспомнить, что такое ента "эквивалентность функций".
б) а проблема ТС в том, что он привык пользоваться "эквивалентностью функций", а переформулировать (тоже самое) решение "в пределах" составило сложности.

[drzewo]

Преподаватели, ведущие семинары, обычно позволяют (а часто и сами рассказывают без доказательств) студентам пользоваться и формулой Тейлора и правилом Лопиталя, даже если это еще не прошли на лекциях. А правило Лопиталя студент совершенно спокойно мог пройти в физмат классе или на каких-нибудь курсах. Т..е. вопрос ТС вообще не стоит выеденного яйца ни с каких позиций, в том числе и с формальных. Асимптотика из стартоаого поста выводится из второго замечательного предела, как уже отмечалось.

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1660053 писал(а):

Преподаватели, ведущие семинары, обычно позволяют (а часто и сами рассказывают без доказательств) студентам пользоваться и формулой Тейлора и правилом Лопиталя, даже если это еще не прошли на лекциях.

Преподаватели, ведущие семинары, как правило находятся в контакте с лектором. И знают, какой способ решения будет засчитан сразу, а какой потребует дополнительных доказательств.
Репетиторы тут, конечно, в худшей позиции находятся. Им угадывать надо, или принимать решения, исходя из вторичных половыхпризнаков.