Разложение в ряд по константе

[PhysicsEnjoyer]

товарищ Блохинцев в параграфе 35 писал(а):

Покажем, что временное уравнение Шредингера
$i \hbar \frac{\partial \psi }{\partial x } = \tilde{H} \psi $,$ \tilde{H} = -\frac{\hbar^2}{2 \mu}\nabla^2 + U(x,y,z,t) $
ведет приближенно к тем же результатам, что и уравнение Гамильтона Якоби. Для этого представим волновую функцию $\psi$ в виде $\psi = e^{-\frac{iS}{\hbar}}$
где S - некоторая искомая функция. Замечая что
$ \frac{\partial\psi}{\partial x} = - \frac{i}{\hbar}\frac{\partial S}{\partial x} \psi , = - \frac{1}{\hbar^2} (\frac{\partial S}{\partial x})^2 \psi - \frac{i}{\hbar} \frac{\partial^2 S}{\partial^2 x} \psi$
Мы получим, подставляя в ур-е Шредингера, новое уравнение для $S$
$\frac{\partial S}{\partial t} = \frac{1}{2 \mu}[ (\frac{\partial S}{\partial x})^2 + (\frac{\partial S}{\partial x})^2 + (\frac{\partial S}{\partial x})^2] + U(x,y,z,t) + \frac{i}{2 \mu} \nabla^2 S$
Разложим теперь S по степеням $i \hbar$
$S = S_0 + (i \hbar) S_1 + (i \hbar)^2 S_2$

Вот это разложение мне не понятно. По логике это разложение в ряд Тейлора, но непривычное для меня. Что значит вообще разложить в ряд по константе ?

[Red_Herring]

PhysicsEnjoyer в сообщении #1659237 писал(а):

Что значит вообще разложить в ряд по константе ?

Не по константе, а по малому безразмерному параметру.

[pppppppo_98]

PhysicsEnjoyer в сообщении #1659237 писал(а):

По логике это разложение в ряд Тейлора, но непривычное для меня. Что значит вообще разложить в ряд по константе ?

ужо Ред Херринг выше отметился. Пару мазков дополню. Рассмотрите это выражение чисто как символьный объект из теории диффуравнений (без всяких физических интерпретаций), и постоянную планка как параметр. По этому параметру можно ведь разложить решение уравнения , считая его аналитическим. Вот это и делают... Это теория возмущений....

Вы кстати не совсем удачное представление выбрали. Функция S -она комплексная - условно мнимая часть часть определется импульсом, а действительная условно вероятностью появления частицы в области ... Если рассматривать зону свободного движения , то мнимая часть будет намного медленее меняться чем мнимая. И более удачным мне (хотя это на любой вкус и кошелек) видится представление $\Psi=A e^{iS}$, где обе вновь вводимые функции действительны, и главное помнить ,что $\left|\frac{\operatorname{grad} A}{A} << \operatorname{grad} S \right|$ и стало быть это разные порядки в разложении по $\hbar$

[Red_Herring]

pppppppo_98 в сообщении #1659245 писал(а):

решение уравнения , считая его аналитическим

Необязательно аналитическим, всего лишь бесконечно гладким. Тогда нет сходимости в обычном понимании, но есть асимптотическая сходимость: для любого $M$ существует $N$ т.ч. если ограничиться $N$ членами ряда, то ошибка будет $O(h^M)$. Возможны вариации.

[PhysicsEnjoyer]

Red_Herring
pppppppo_98
Спасибо, как то эта тема прошла мимо меня про разложение решения по малому параметру.

[Red_Herring]

И добавлю: учитывая экспоненциальный быстроосциллирующий множитель, это не ряд Тейлора. Подставляя в уравнение, на первом шаге, мы получаем УЧП первого порядка для фазы, которое является классическим уравнением Гамильтона-Якоби (и решение сводится к решение Гамильтоновой системы ОДУ), на втором--уравнение переноса для главного члена разложения амплитуды, и дальше--аналогичные уравнения для следующих членов.

Это решение в общем случае только локально по времени, а получение глобального решения ведет к ВКБ.