Согласованные нормы в линейном пространстве

[ElfDante]

Здравствуйте!
В книге Колмогорова-Фомина по функциональному анализу (стр. 170, гл. 3, параграф 3, п. 3) есть следующее определение:

В линейном пространстве две нормы называются согласованными, если для любой последовательности, фундаментальной по обеим нормам, из существования предела по одной из норм вытекает существование того же самого предела по другой норме.

Не могу придумать пример последовательности, фундаментальной по двум нормам, имеющей предел по одной из норм такой, что он не совпадает с пределом по второй норме. Помогите, пожалуйста.

[mihaild]

Возьмите, например, $c_{00}$ - пространство последовательностей с конечным числом ненулевых членов с супремум-нормой. Добавьте к нему еще два вектора $y$ и $z$, и доопределите норму двумя способами, так, чтобы, например, $x_n = (1, 1/2, \ldots, 1/n, 0, 0, \ldots)$ по одной норме сходилась к $y$, а по другой к $z$.

[drzewo]

(Оффтоп)

Колмогоров-Фомин становится все толще и толще, хотя авторов давно нет на свете.

[ElfDante]

mihaild в сообщении #1659161 писал(а):

Возьмите, например, $c_{00}$ - пространство последовательностей с конечным числом ненулевых членов с супремум-нормой. Добавьте к нему еще два вектора $y$ и $z$, и доопределите норму двумя способами, так, чтобы, например, $x_n = (1, 1/2, \ldots, 1/n, 0, 0, \ldots)$ по одной норме сходилась к $y$, а по другой к $z$.

Не очень понимаю. Вы предлагаете взять нормированное пространство (в Вашем случае $c_{00}$) и в нем фундаментальную последовательность, а затем дополнить нормированное пространство так, чтобы пределы оказались разными? Пополнение же единственное с точностью до изометрии.

[Dan B-Yallay]

А если рассмотреть на соболевском пространстве соболевскую норму и "базовую" банахову?

[mihaild]

ElfDante в сообщении #1659206 писал(а):

а затем дополнить нормированное пространство так, чтобы пределы оказались разными?

Не пополнить. Просто рассмотреть векторное пространство $c_{00} \times \langle y\rangle \times \langle z \rangle$. И ввести на нем две нормы.

Dan B-Yallay в сообщении #1659220 писал(а):

А если рассмотреть на соболевском пространстве соболевскую норму и "базовую" банахову?

Так сходимость по соболевской норме влечет сходимость в $L_p$ к тому же самому.

[Dan B-Yallay]

mihaild в сообщении #1659222 писал(а):

Так сходимость по соболевской норме влечет сходимость в $L_p$ к тому же самому.

Я, конечно, давно забыл математику, но ЧЯДНТ в данном примере?

$$ \begin{align} f(x) & = x \in H^1[0,1] = W^{1,2}[0,1] \\ || f||_{L^2} & = \Big( \int\limits_0^1 x^2 dx\Big)^{1/2} = \sqrt{1/3}\\ ||f ||_{H^1} & = \Big( \int\limits_0^1 x^2 dx + \int\limits_0^1 1^2 dx \Big)^{1/2} = \sqrt{1/3+ 1}\\ \end{align} $$

[mihaild]

Пока всё так. А где сходимость?
$\|f\|_{L^2} \leq \|f\|_{H^1}$. Поэтому если $f_n \to_{H^1} f$, то $f_n \to_{L^2} f$, и значит не может быть примером, когда пределы есть по обеим нормам, но разные.

[Dan B-Yallay]

mihaild в сообщении #1659258 писал(а):

Пока всё так. А где сходимость?

Понял, осознал. Неправильно понял вопрос.

[ElfDante]

mihaild в сообщении #1659222 писал(а):

росто рассмотреть векторное пространство $c_{00} \times \langle y\rangle \times \langle z \rangle$. И ввести на нем две нормы.

Кажется, мне нужна подсказка. У меня либо получается одинаковый предел, либо нарушаются аксиомы нормы, либо вводимая норма не совпадает с нормой $c_{00}$...

[mihaild]

Любой вектор из этого пространства однозначно представляется в виде $x + \alpha y + \beta z$, где $x \in c_{00}$ (просто из определения прямой суммы).
Попробуйте сказать что $\|x + \alpha y + \beta z\|_1 = \|x + \beta z + \alpha y\|_2$ (т.е. что нормы отличаются перестановкой $y$ и $z$).

ElfDante в сообщении #1659313 писал(а):

либо вводимая норма не совпадает с нормой $c_{00}$

Так Вы оставьте норму на $c_{00}$ как есть. Скажите, что $\|x + \alpha y + \beta z\| = f(\|x\|, \alpha, \beta)$ для подходящей $f$, причем $f(x, 0, 0) = x$.