Школьная задачка по пределам

[Neznajka_]

Здравствуйте, никак не могу осилить задачу:



У меня выходит так (1-й периметр треугольника с основанием длины $a$ находим из теоремы косинусов): $\lim\limits_{n\to \infty}Pа_{n} = \lim\limits_{n\to \infty}(\frac{a}{n} + \frac{a\sqrt{2}}{n})=0$.
Но верный ответ другой.
Что я в этой задаче делаю или понимаю не так?

[svv]

Под фигурой понимается вся пила, а не один её зубец.

[Neznajka_]

svv в сообщении #1658716 писал(а):

Под фигурой понимается вся пила, а не один её зубец.

Но тогда: $\lim\limits_{n\to \infty}Pа_{n} = \lim\limits_{n\to \infty}n(\frac{a}{n} + \frac{a\sqrt{2}}{n})=a+a\sqrt{2}$ ?
Если да, то верный ответ в учебнике другой.

[sergey zhukov]

Neznajka_
Вообще, $a+\sqrt{2}a$ - ответ правильный. Если именно нужно найти сумму периметров всех треугольников. Она, кстати, вообще не зависит от количества этих треугольников. Можно один треугольник рассмотреть.

[Dedekind]

Neznajka_ в сообщении #1658720 писал(а):

Если да, то верный ответ в учебнике другой.

Какой?

[sergey zhukov]

Наверное, такой - $a(1+\sqrt{2})$

[Neznajka_]

В качестве правильного ответа указано $a\sqrt{2}$. Опечатка?

Поясните, пожалуйста, ещё следующий момент. Не существует ведь треугольника с нулевым периметром(?) А значит, предел периметра отдельного треугольника $\neq \lim\limits_{n\to \infty}(\frac{a}{n} + \frac{a\sqrt{2}}{n})=0$?
Или же, если предел периметра отдельного треугольника $=\lim\limits_{n\to \infty}(\frac{a}{n} + \frac{a\sqrt{2}}{n})$, то $\lim\limits_{n\to \infty}(\frac{a}{n} + \frac{a\sqrt{2}}{n})\neq0$. Но это, получается, некорректные записи (n стремится к бесконечности с одной стороны, но имеет ограничение с другой) (?). А чему тогда равен предел периметра треугольника, можно ли его найти? ...Просто любопытно.

[wrest]

Neznajka_ в сообщении #1658738 писал(а):

Поясните, пожалуйста, ещё следующий момент. Не существует ведь треугольника с нулевым периметром(?)

В этой задаче - не существует.

-- 16.10.2024, 12:02 --

Neznajka_ в сообщении #1658738 писал(а):

предел периметра отдельного треугольника $\neq \lim\limits_{n\to \infty}(\frac{a}{n} + \frac{a\sqrt{2}}{n})=0$

А предел периметра одного треугольника существует, и этот предел равен нулю при $n \to \infty$.

Тут же ясная история. Периметр каждого отдельного треугольника $p(n)$ уменьшается с ростом $n$, но какое бы положительное $n$ мы не взяли, $p(n)=\dfrac{a(1+\sqrt{2})}{n}>0$

[sergey zhukov]

Neznajka_
Видимо, имеется ввиду длина ломаной. Т.е. треугольники без оснований. Это может быть демонстрацией того, что длина кривой (точнее, ломаной) может отличаться от длины прямой, даже если разница между кривой и прямой во всех точках стремится к нулю (т.е. в пределе они "сливаются"). Так, длина "ступенчатой" диагонали квадрата со стороной $1$ всегда равна $2$ и никак не приближается к $\sqrt{2}$ (длина "гладкой" диагонали квадрата), даже если ступеньки измельчить до бесконечно малой высоты.

Периметр бесконечно малого треугольника бесконечно мал. Сумма бесконечного числа бесконечно малых может быть равна, на самом деле, чему угодно - от нуля до бесконечности. Это называется "неопределенность типа "$0\times\infty$""

[Neznajka_]

Спасибо за пояснения!

[warlock66613]

Neznajka_ в сообщении #1658738 писал(а):

Не существует ведь треугольника с нулевым периметром(?) А значит, предел периметра отдельного треугольника $\neq \lim\limits_{n\to \infty}(\frac{a}{n} + \frac{a\sqrt{2}}{n})=0$?

Треугольника с нулевым периметром не существует. Это значит, что предел периметров уменьшающихся треугольников (равный 0) не является периметром какого-бы то ни было треугольника. И это нередко бывает, что предел последовательности чего-нибудь сам не являемся этим чем-нибудь.

[Neznajka_]

warlock66613 в сообщении #1658751 писал(а):

Neznajka_ в сообщении #1658738 писал(а):

Не существует ведь треугольника с нулевым периметром(?) А значит, предел периметра отдельного треугольника $\neq \lim\limits_{n\to \infty}(\frac{a}{n} + \frac{a\sqrt{2}}{n})=0$?

Треугольника с нулевым периметром не существует. Это значит, что предел периметров уменьшающихся треугольников (равный 0) не является периметром какого-бы то ни было треугольника. И это нередко бывает, что предел последовательности чего-нибудь сам не являемся этим чем-нибудь.

Спасибо за ответ. Да, я уже вроде как понял (вспомнил) - "предел последовательности" - число, к которому она стремится, но может "никогда" (при любом конкретном номере её члена) до него не доходить.

[svv]

Neznajka_
Из этой картинки должно быть очевидно, что длина ломаной не зависит от $n$.

Поэтому можно найти длину при $n=1$, и она будет равна искомому пределу.

[Dashik007]

Тут даже толком предела то и нет

[ET]

Dashik007 в сообщении #1658774 писал(а):

Тут даже толком предела то и нет

В каком смысле нет? Нормальная последовтельность с пределом. Любым критериям на существование предела удовлетворяет. Куда предел может деться?