2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение Лапласа
Сообщение11.10.2024, 18:18 


09/07/20
133
Докажите, что функция $f(x,y)=(|x-y|)^{-1}$ является решением уравнения Лапласа $\Delta u_{x}f=0$ и $x,y \in R^2$ .

доказательство: $x=(x_{1},x_{2})$ , $y=(y_{1} , y_{2})$ И по условию ($\Delta u_{x}f=0$) $y_{1}= \operatorname{const}$ , $y_{2}= \operatorname{const} $. Пусть $r=|x-y|=\sqrt{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}$

$\frac{\partial}{\partial x_{1}} \frac{1}{r}=-\frac{1}{r^2} \frac{x_{1}-y_{1}}{r}=-\frac{x_{1}-y_{1}}{r^3}$

$\frac{\partial}{\partial x^2_{1}}(-\frac{x_{1}-y_{1}}{r^3})=-\frac{-r^3-3r(x_{1}-y_{1})^{2}}{r^6}$


$\frac{{\partial}^2}{\partial x^{2}_{2}} \frac{1}{r}=-\frac{-r^3-3r(x_{2}-y_{2})^{2}}{r^6}$

Но

$\frac{{\partial}^2}{\partial x^{2}_{1}} \frac{1}{r} +\frac{{\partial}^2}{\partial x^{2}_{2}} \frac{1}{r}=\frac{1}{r^4} \neq 0 $.

:facepalm: :facepalm: :facepalm: :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Лапласа
Сообщение11.10.2024, 18:25 


21/12/16
771
paranoidandroid в сообщении #1658229 писал(а):
Докажите, что функция $f(x,y)=(|x-y|)^{-1}$ является решением уравнения Лапласа $\Delta u_{x}f=0$ и $x,y \in R^2$

думаю, что во вменяемом варианте этой задачи должно быть $\mathbb{R}^3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Лапласа
Сообщение11.10.2024, 18:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11306
Hogtown
drzewo в сообщении #1658231 писал(а):
думаю, что во вменяемом варианте этой задачи должно быть $\mathbb{R}^3$
Даже и это не совсем верно, т.к. решением она будет только вне начала координат.

paranoidandroid, Неужели так трудно проверять написанное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Лапласа
Сообщение11.10.2024, 19:05 


09/07/20
133
drzewo АА да да да... Если $x,y \in R^3$ то все в норме :idea: Большое спасибо.

$(\Delta_{x} +k^2)\frac{e^{ikr}}{r}=0$ и $x,y \in R^3$ Где $r=|x-y|=\sqrt{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}}$

$\frac{\partial}{\partial x_{1}} \frac{e^{ikr}}{r}=\frac{ike^{ikr}(x_{1}-y_{1})-\frac{e^{ikr}(x_{1}-y_{1})}{r}}{r^2}=(ik-\frac{1}{r})\frac{e^{ikr}(x_{1}-y_{1})}{r^2}$ и т.д.

Но посчитать здесь производные и потом упростить очень сложно :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Лапласа
Сообщение11.10.2024, 19:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12519
paranoidandroid в сообщении #1658239 писал(а):
посчитать здесь производные и потом упростить очень сложно
По Колмогорову?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Лапласа
Сообщение11.10.2024, 19:20 


09/07/20
133
Утундрий А это как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Лапласа
Сообщение11.10.2024, 19:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12519
Колмогоровская сложность

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Лапласа
Сообщение11.10.2024, 19:28 


09/07/20
133

(Оффтоп)

Утундрий Спасибо вам большое :idea:

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Лапласа
Сообщение11.10.2024, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
paranoidandroid
Вам известно, как выглядит лапласиан скалярной функции в сферических координатах $(r,\theta,\varphi)$ ? Это выражение ещё упрощается, если функция зависит только от $r$, как в обеих Ваших задачах.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group