2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение Лапласа
Сообщение11.10.2024, 18:18 


09/07/20
133
Докажите, что функция $f(x,y)=(|x-y|)^{-1}$ является решением уравнения Лапласа $\Delta u_{x}f=0$ и $x,y \in R^2$ .

доказательство: $x=(x_{1},x_{2})$ , $y=(y_{1} , y_{2})$ И по условию ($\Delta u_{x}f=0$) $y_{1}= \operatorname{const}$ , $y_{2}= \operatorname{const} $. Пусть $r=|x-y|=\sqrt{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}$

$\frac{\partial}{\partial x_{1}} \frac{1}{r}=-\frac{1}{r^2} \frac{x_{1}-y_{1}}{r}=-\frac{x_{1}-y_{1}}{r^3}$

$\frac{\partial}{\partial x^2_{1}}(-\frac{x_{1}-y_{1}}{r^3})=-\frac{-r^3-3r(x_{1}-y_{1})^{2}}{r^6}$


$\frac{{\partial}^2}{\partial x^{2}_{2}} \frac{1}{r}=-\frac{-r^3-3r(x_{2}-y_{2})^{2}}{r^6}$

Но

$\frac{{\partial}^2}{\partial x^{2}_{1}} \frac{1}{r} +\frac{{\partial}^2}{\partial x^{2}_{2}} \frac{1}{r}=\frac{1}{r^4} \neq 0 $.

:facepalm: :facepalm: :facepalm: :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Лапласа
Сообщение11.10.2024, 18:25 


21/12/16
721
paranoidandroid в сообщении #1658229 писал(а):
Докажите, что функция $f(x,y)=(|x-y|)^{-1}$ является решением уравнения Лапласа $\Delta u_{x}f=0$ и $x,y \in R^2$

думаю, что во вменяемом варианте этой задачи должно быть $\mathbb{R}^3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Лапласа
Сообщение11.10.2024, 18:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11292
Hogtown
drzewo в сообщении #1658231 писал(а):
думаю, что во вменяемом варианте этой задачи должно быть $\mathbb{R}^3$
Даже и это не совсем верно, т.к. решением она будет только вне начала координат.

paranoidandroid, Неужели так трудно проверять написанное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Лапласа
Сообщение11.10.2024, 19:05 


09/07/20
133
drzewo АА да да да... Если $x,y \in R^3$ то все в норме :idea: Большое спасибо.

$(\Delta_{x} +k^2)\frac{e^{ikr}}{r}=0$ и $x,y \in R^3$ Где $r=|x-y|=\sqrt{(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}}$

$\frac{\partial}{\partial x_{1}} \frac{e^{ikr}}{r}=\frac{ike^{ikr}(x_{1}-y_{1})-\frac{e^{ikr}(x_{1}-y_{1})}{r}}{r^2}=(ik-\frac{1}{r})\frac{e^{ikr}(x_{1}-y_{1})}{r^2}$ и т.д.

Но посчитать здесь производные и потом упростить очень сложно :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Лапласа
Сообщение11.10.2024, 19:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12414
paranoidandroid в сообщении #1658239 писал(а):
посчитать здесь производные и потом упростить очень сложно
По Колмогорову?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Лапласа
Сообщение11.10.2024, 19:20 


09/07/20
133
Утундрий А это как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Лапласа
Сообщение11.10.2024, 19:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
12414
Колмогоровская сложность

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Лапласа
Сообщение11.10.2024, 19:28 


09/07/20
133

(Оффтоп)

Утундрий Спасибо вам большое :idea:

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Лапласа
Сообщение11.10.2024, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
paranoidandroid
Вам известно, как выглядит лапласиан скалярной функции в сферических координатах $(r,\theta,\varphi)$ ? Это выражение ещё упрощается, если функция зависит только от $r$, как в обеих Ваших задачах.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group