Метод характеристик для решения ДУЧП 2 порядка

[Ascold]

Потребовалось решить уравнение(Смирнов, "Задачи по уравнениям математической физики", М.:1975, задача №21)

$$x^2u''_{xx}-2xyu''_{xy}+y^2u''_{yy}+xu'_x+yu'_y=0$$

этим методом. Когда учился в университете, оный не проходил, в Тихонове и Самарском такого тоже нет.
Что почитать не очень сложного(я не математик) про данный метод?
Вижу, что уравнение параболического типа, могу составить "уравнение характеристик" $\ln|xy|=C$, а дальше неясно, что делать.

[drzewo]

Петровский Лекции об уравнениях с частными производными

[Red_Herring]

Ascold в сообщении #1658226 писал(а):

Вижу, что уравнение параболического типа

Неправильно видите. Выделите из уравнения $(x\partial_x-y\partial_y)^2u$ и посмотрите, что останется.

[drzewo]

Данное уравнение имеет параболический тип.

[Red_Herring]

drzewo в сообщении #1658348 писал(а):

Данное уравнение имеет параболический тип.

Я могу повторить свой совет выделить квадрат. И если бы это было параболическое уравнение, то Смирнов бы не поместил бы в "метод характеристик".

[drzewo]

[Red_Herring]

Это устарелое формально-алгебраическое определение, причем годящееся только для уравнений второго порядка. Современный взгляд: надо судить по аналитическим свойствам: параболические уравнения такие, которые имеют примерно те же свойства, что и уравнение теплопроводности. Иначе под параболические уравнения подпадут и уравнение $u_{xx}=0$ , и уравнение Шредингера и получается помойка.

Данное уравнение в подходящих переменных будет $u_{xx}=0$ (нестрого гиперболическое).

Параболические уравнения, согласно современному определению: гипоэллиптические (т.е. там где правая часть бесконечно гладкая, там и решение бесконечно гладкое) и характеристическая задача Коши локально (по всем переменным) разрешима в одну сторону. Ни $u_{xx}=0$ , ни уравнение Шредингера, ни $u_t=u_{xx}-u_{yy}$ не удовлетворяют условию гипоэллиптичности, и только для Шредингера характеристическая задача Коши локально разрешима разрешима, а $u_t=-u_{xxxx}$ удовлетворяет обоим и потому параболическое.