Устойчивость базиса в ГП

[Padawan]

Пусть в гильбертовом пространстве $H$ даны две ортонормированные системы векторов $\{e_n\}_{n=1}^\infty$ и $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ такие, что

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\|e_n-f_n\|^2<+\infty.$$

Доказать, что если $\{e_n\}_{n=1}^\infty$ -- базис в $ H$, то и $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ -- базис в $H$.

[drzewo]

ссылка на учебник

(Оффтоп)

Садовничий Теория операторов

[Padawan]

Если $\sum\limits_{n=1}^\infty\|e_n-f_n\|^2<1$, то все классно: предположим, что существует $x\in H$, $x\neq 0$, такой, что $(x,f_n)=0$ для всех $n=1,2,\ldots$ Тогда, т.к. $\{e_n\}_{n=1}^\infty$ - ортонормированный базис, то

$$ \|x\|^2=\sum\limits_{n=1}^\infty |(x,e_n)|^2=\sum\limits_{n=1}^\infty |(x,e_n-f_n)|^2\leqslant \sum\limits_{n=1}^\infty \|x\|^2\|e_n-f_n\|^2, $$

сократив начало и конец на $\|x\|^2\neq 0 $ получим $\sum\limits_{n=1}^\infty\|e_n-f_n\|^2\geqslant 1$ противоречие.
Интуиция говорит мне, что есть красивое короткое решение, использующее переход к фактор-пространству.

Типа (в порядке фантазии) перейдем к фактор-пространству по попдпространству, порожденному $\{e_n\}_{n=N+1}^\infty$, и увидим, что его размерность совпадает с размерностью фактора по $\mathrm{span}(\{f_n\}_{n=N+1}^\infty)$.

Мое решение довольно технически сложное, уверен, что есть гораздо более простое и концептуальное, за что и любим Функциональный анализ.

-- Пт окт 11, 2024 23:27:54 --

(Оффтоп)

drzewo
Пока Садовничего не смотрел :) ради спортивного интереса.

[drzewo]

Пусть $\{e_i\}$ -- ортонормированный базис, а $\{f_i\}$ -- ортонормированная последовательность -- не базис:

$$H=F\oplus G,\quad F=\overline{\mathrm{span}\,\{f_i\}},\quad G\perp F,\quad \dim G>0.$$

Организуем ограниченный линейный оператор $A:H\to H$ следующим образом:

$$Ax=\sum_{i\in\mathbb{N}}(x,f_i)e_i$$

Оператор $Kx=Ax-x=\sum_{i\in\mathbb{N}}(x,f_i-e_i)e_i$ приближается конечномерными операторами $K_nx=\sum_{i=1}^n(x,f_i-e_i)e_i$ по операторной норме. Следовательно,
$K$ -- компактный оператор.
Значит $A=E+K$ -- фредгольмов оператор. Значит $\dim\ker A<\infty,\quad G=\ker A$
Уже прогресс:) Думаем дальше.

-- 13.10.2024, 18:25 --

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #1658257 писал(а):

Пока Садовничего не смотрел :) ради спортивного интереса.

аналогично, коллега:)

-- 13.10.2024, 19:09 --

Про фредгольмовы операторы еще известно, что образ замкнут и коразмерность образа тоже конечна.
Индексом фредгольмова оператора называется разность, в нашем случае

$$\mathrm{ind}\,A=\dim\ker A-\dim(H/A(H)).$$

Известно, что индекс оператора $A_s=E+sK$ не зависит от $s\in(0,1]$.
Оператор $A_{s}$ является изоморфизмом при малых $s$, следовательно его индекс равен нулю. Следовательно индекс $A_1=A$ тоже равен нулю.
Рассмотрим оператор $A^*x=\sum_i(x,e_i)f_i$. Ясно, что $\ker A^*=\{0\}$ поэтому $A(H)$ плотно в $H$. Следовательно, $A(H)=H$. Но тогда

$$\mathrm{ind}\,A=\dim\ker A.$$

Но мы уже знаем, что индекс равен нулю.
ЧТД

[drzewo]

у меня гильбертово пространство над $\mathbb{R}$ если что

[drzewo]

На самом деле доказано несколько более общее утверждение чем в стартовом посте:)

[Утундрий]

drzewo в сообщении #1658450 писал(а):

Известно, что индекс оператора $A_s=E+sK$ не зависит от $s\in(0,1]$.

Откуда?

[Padawan]

Приведу свое решение.
Для любого натурального числа $N$ обозначим $E_N=\mathrm{span}\,\{e_i\}_{i=1}^N$, $F_N=\mathrm{span}\,\{f_i\}_{i=1}^N$. Для $i=1,\ldots, N$ через $f'_{i,N}$ обозначим ортогональную проекцию $f_i$ на подпространство $E_N$. Оценим расстояние $\|f_i-f'_{i,N}\|$, $i=1,\ldots,N$. Так как $\{e_i\}_{i=1}^\infty$ -- ортонормированный базис, то по теореме Пифагора

$$\|f_i-f'_{i,N}\|^2=\sum\limits_{j=N+1}^\infty |(f_i,e_j)|^2=\sum\limits_{j=N+1}^\infty |(f_i,e_j-f_j)|^2\leqslant \sum\limits_{j=N+1}^\infty \|e_j-f_j\|^2\to 0$$

при $N\to\infty$. Кроме того, при любом $i=1,\ldots,N$ выполнено $\|f_i-f'_{i,N}\|\leqslant \|f_i-e_i\|$.
Таким образом, при фиксированном $i$ выполнено $\|f_i-f'_{i,N}\|\to 0$ при $N\to\infty$, причем $\|f_i-f'_{i,N}\|\leqslant \|f_i-e_i\|$ для всех $i=1,\ldots, N$, где $\sum\limits_{i=1}^\infty \|f_i-e_i\|^2<+\infty$. Отсюда следует, что $\sum\limits_{i=1}^N\|f_i-f'_{i,N}\|^2\to 0 $ при $N\to\infty$ (можно сослаться на теорему Лебега об мажорируемой сходимости).
Теперь рассмотрим линейное отображение $\varphi\colon F_N\to E_N$, заданное формулой $\varphi(x)=\sum\limits_{i=1}^N (x,f_i)f'_{i,N}$ для всех $x\in F_N$.
Пусть $x\in F_N$ и $\|x\|=1$. Тогда

$$ \|x-\varphi(x)\|=\left\|\sum\limits_{i=1}^N (x,f_i)f_i-\sum\limits_{i=1}^N (x,f_i)f'_{i,N}\right\|=\left\|\sum\limits_{i=1}^N (x,f_i)(f_i-f'_{i,N})\right\|\leqslant\sum\limits_{i=1}^N|(x,f_i)|\cdot\|f_i-f'_{i,N}|\leqslant$$ $$ \leqslant \left(\sum\limits_{i=1}^N |(x,f_i)|^2\right)^{1/2}\left(\sum\limits_{i=1}^N \|f_i-f'_{i,N}\|^2\right)^{1/2}\leqslant\|x\|\left(\sum\limits_{i=1}^N \|f_i-f'_{i,N}\|^2\right)^{1/2}=\|x\|\varepsilon(N)\leqslant\varepsilon(N) $$

По "топологическим причинам" (надо получше прояснить этот момент, в общем $\varphi$ -- "почти изометрия") отсюда следует, что $\varphi$ есть изоморфизм между $F_N$ и $E_N$ и образ шара $B(0,1)$ в $F_N$ содержит шар $B(0,1-2\varepsilon(N))$ в $E_N$. Так как $E_N$ при больших $N$ само приближает любой элемент гильбертова пространства $H$ с точностью до произвольного $\varepsilon>0$, а $\varepsilon(N)\to 0$ при $N\to\infty$, то система $\{f_i\}_{i=1}^\infty$ полна (в смысле её линейные комбинации всюду плотны в $H$). Значит, $\{f_i\}_{i=1}^\infty$ -- ортонормированный базис в $H$.

-- Пн окт 14, 2024 18:05:24 --

P.S. Касаемо "топологических причин", можно без них, просто из приведенной оценки $\|x-\varphi(x)\|\leqslant \|x\|\varepsilon(N)$ следует, что $\|\varphi(x)\|\geqslant (1-\varepsilon(N))\|x\|$. Значит, $\varphi$ -- инъекция, а раз $F_N$ и $E_N$ имеют одинаковую размерность, то $\varphi$ -- изоморфизм, и утверждение про образ шара тоже следует из этого неравенства.

[drzewo]

Понятно. У меня после минимального допиливания того, что написано выше, получился следующий результат.
Как и выше $\{e_i\}$ -- ортонормированный базис в гильбертовом пространстве $H$.

Теорема. Предположим, что последовательность векторов $f_1,f_2,\ldots\in H$ такова что
1) $\sum_{i=1}^\infty\lambda_if_i=0\Longrightarrow \lambda_i=0\quad\forall i\in\mathbb{N};$
и
2) $\sum_{i=1}^\infty\|f_i-e_i\|^2<\infty.$
Тогда последовательность векторов $f_1,f_2,\ldots$ является базисом Шаудера в $H$.

[Утундрий]

Утундрий в сообщении #1658480 писал(а):

drzewo в сообщении #1658450 писал(а):

Известно, что индекс оператора $A_s=E+sK$ не зависит от $s\in(0,1]$.

Откуда?

Поясню, чем вызван вопрос. Мне трудно (да и незачем) следить за вашими хаотичными манипуляциями разнообразными терминами. Этот школьный стиль "решения" задач мне глубоко противен и нужна хоть какая-то мотивация, чтобы во всё это вникнуть. Мне просто показалось, что цитированной утверждение тупо равносильно тому, которое и нужно доказать.

[drzewo]

Собственно, вот более-менее окончательный вариант:
https://www.researchgate.net/publication/384926833_O_bazisah_gilbertova_prostranstva
Содержательная критика приветствуется.

[Утундрий]

drzewo в сообщении #1658641 писал(а):

Собственно, вот более-менее окончательный вариант:
https://www.researchgate.net/publication/384926833_O_bazisah_gilbertova_prostranstva
Содержательная критика приветствуется.

Я ничего не понял в этом "доказательстве", а у его автора спрашивать что либо бессмысленно. Потому что он, судя по всему, окончательно утратил способность изъясняться по-человечески.

[мат-ламер]

drzewo в сообщении #1658641 писал(а):

Содержательная критика приветствуется.

В списке литературы можете добавить - П. Халмош. "Гильбертово пространство в задачах", стр. 14, задача 7.

[drzewo]

Да, это спасибо, задачники добавлять не к чему, а вот там у Халмоша ссылка на Надя -- про этот текст я как-то забыл, надо подчитать

[mihaild]

Утундрий в сообщении #1658692 писал(а):

Я ничего не понял в этом "доказательстве", а у его автора спрашивать что либо бессмысленно

Я вроде бы все понял, оно кажется почти не требует ничего за рамками стандартной программы. Можете спрашивать у меня, возможно обнаружим что я что-то на самом деле не понял.