Задача на вероятность

[empfloo]

Встретилась задача, но для нее я не нашел решения и ответа. Я придумал 2 решения, но не понимаю какое из них верное и есть ли вообще среди них правильное?


Условие:
В коробке лежат 5 черных кубов и 5 белых кубов. Из коробки без возвращения вытаскивают 5 кубов. Известно, что из них 2 куба белые. Найди вероятность того, что другие три куба черные.


Решение 1:
Считаем, что 2 куба точно белые, оставшиеся 3 могут быть как черными, так и белыми т.е всего $C_{10-2}^{3}$ способов выбора этих 3.

При этом лишь $C_{5}^{3}$ способов удовлетворяют условию: 3 оставшихся выбраны из 5 черных.

Таким образом ответ: $\frac{C_{5}^{3}}{C_{8}^{3}} = \frac{5}{28}$.


Решение 2:

Введем события:
A - среди вытянутых пяти кубов, как минимум 2 точно белые.
X - оставшиеся 3 из 5 вытянутых кубов точно черные.

Нужно найти: $P(X|A)=\frac{P(X \cap A)}{P(A)}$

$X\cap A$ - это событие при котором достали 3 черных и 2 белых куба.
Всего способов достать 5 кубов из 10: $C_{10}^{5}$, достать 3 куба из 5 черных: $C_{5}^{3}$, достать 2 белых из 5 белых: $C_{5}^{2}$.
Тогда: $P(X \cap A) = \frac{C_{5}^{3} C_{5}^{2}}{C_{10}^{5}}$

Событие A включает в себя случаи когда вытянули: 2 белых и 3 черных, 3 белых и 2 черных, 4 белых и 1 черный, 5 белых кубов.
Тогда:
$P(A) =\frac{C_{5}^{2}C_{5}^{3} + C_{5}^{3}C_{5}^{2} + C_{5}^{4}C_{5}^{1} + C_{5}^{5}}{C_{10}^{5}} $

Отсюда ответ: $P(X|A)= \frac{50}{113}$.

[Mihr]

Первое решение верное. Второе я, честно, не смог понять

[Combat Zone]

Второй правильный.
Первым способом вы первым делом достали и отложили в сторону два конкретных белых куба. В условии это не так. Это может быть любая пара. Так что этот способ приводит к ошибке.
"Длинную" вероятность во втором способе было бы быстрее считать через вероятность противоположного события.

[waxtep]

Мне тоже второе решение больше нравится, и в нем можно не тратить время и силы на условную вероятность, а просто посчитать отношение числа способов вытянуть 2Б+3Ч к числу способов вытянуть не менее 2Б

[Combat Zone]

waxtep
ну, фактически, это и происходит :)

[provincialka]

Первое решение не выглядит правдоподобным.

Запустила компьютерную симуляцию. Результат очень похож на 50/113

[Combat Zone]

provincialka в сообщении #1657286 писал(а):

Запустила компьютерную симуляцию.

Зачем?

[provincialka]

Потому что ночь и думать лень. А ответ узнать захотелось.

[Combat Zone]

empfloo в сообщении #1657263 писал(а):

Условие:
В коробке лежат 5 черных кубов и 5 белых кубов. Из коробки без возвращения вытаскивают 5 кубов. Известно, что из них 2 куба белые. Найди вероятность того, что другие три куба черные.

Условная вероятность $P(A|B) = \dfrac {P(AB)}{P(B)}$ - это вероятность части события $A$, попавшей в событие $B$. Причем на второе смотрим как на пространство элементарных исходов. Так что событие $B$ состоит из пятерок кубов, в котором есть два белых. А событие $AB$ (т.е. часть события А (три черных), попавшее в В) - это как раз 2б3ч. Пятерок кубов такого вида $C^2_5C^3_5$, это посчитано выше. Больше сложностей вызывает пространство исходов $B$, и проще считать, что туда не попадет. А нет там пятерок, в которых только один белый куб и в которых ни одного. Так что $|B|=C^5_{10}-C^5_5-C^1_5C^4_5$.
Так что ответ должен быть как у ТС во втором способе, если нет ошибок по невнимательности у меня. У него там верно.

[Mihr]

Combat Zone в сообщении #1657278 писал(а):

Первым способом вы первым делом достали и отложили в сторону два конкретных белых куба. В условии это не так.

Да, не подумал как следует, виноват. На самом деле должно получиться отношение числа исходов, соответствующих событию "ровно два белых", к числу исходов, соответствующих событию "не менее двух белых". Так что нужно было начать с выражения

$\dfrac{C^2_5C^3_5}{C^2_5C^3_5+C^3_5C^2_5+C^4_5C^1_5+C^5_5C^0_5}$

После упрощения получается $\dfrac{50}{113}$.

[мат-ламер]

До кучи ещё один метод рассуждения. Вероятность того, что вынули по крайней мере два белых шара - $113/126$ . Вероятность того, что вынули ровно два белых шара - $50/126$ . Отсюда ответ - $50/113$ .

P.S. Пока набирал, появилось предыдущее сообщение с примерно таким же рассуждением.

[empfloo]

Я новичек на форуме, спасибо всем за ответы) Ваши сообщения помогли разобраться в чем я накосячил в 1 решении. Сегодня вечером приеду напишу подробно в чем конкретно ошибка и как не нужно рассуждать.
Даже как-то неловко, что из за глупости ввел в заблуждение людей.

Сама задача с отборочного в МТС Тета 2023.

[Combat Zone]

empfloo
Да бросьте, нормально все. В чем конкретно ошибка - уже там было выше, надеюсь, новых вы не нашли ) Но напишите, если вам самому так лучше разобраться.

[tomodachi]

empfloo в сообщении #1657333 писал(а):

Сама задача с отборочного в МТС Тета 2023.

Дайте ссылку на задачи

[Combat Zone]

tomodachi
А волшебное слово? )
Забирайте.