Частный случай ЦПТ в форме Ляпунова

[vicvolf]

Уважаемые участники форума! Правильно ли утверждение и его доказательство?

Сначала напомню ЦТП в форме Ляпунова.

Пусть независимые случайные величины $x_1,x_2,...,x_n,...$ имеют конечные математические ожидания $a_i$, дисперсии $D[x_i]$ и моменты третьего порядка $E[(x_i-a_i)^3]$. Обозначим $D_n=\sum_{i=1}^n {D[x_i]}$.

Тогда, если выполняется условие:

$\lim_{n \to \infty} {\sum_{i=1}^n {E(|x_i-a_i|^3)/(D_n)^{3/2}}}=0$, (1)

то последовательность случайных величин $z_n=\sum_{i=1}^n$ имеет асимптотическое нормальное распределение при $n \to \infty$.

Рассмотрим частный случай центральной предельной теоремы в форме Ляпунова для независимых случайных величин Бернулли.

Пусть случайная величина $x_i$ принимает значение 1 с вероятностью $p_i$ и значение 0 с вероятностью $1-p_i$.

Тогда $a_i=p_i$ и выполняется:

$E[|x_i-a_i|^3]=E[(x_i-p_i|^3]=(1-p_i)^3p_i+p_i^3(1-p_i)=(p_i-p_i^2)[(1-p_i)^2+p_i^2]$. (2)

Дисперсия случайной величины $z_n=\sum_{i=1}^n$ равна:

$D_n=\sum_{i=1}^n {(p_i-p_i^2)}$. (3)

На основании (2),(3) и учитывая, что $(1-p_i)^2+p_i^2 \leq 1$, получим:

$\sum_{i=1}^n {E(|x_i-a_i|^3)/(D_n)^{3/2}}=\sum_{i=1}^n{(p_i-p_i^2)[(1-p_i^2)+p_i^2]}/(\sum_{i=1}^n{(p_i-p_i^2)^{3/2}}) $$\leq \sum_{i-1}^n{(p_i-p_i^2)}/(\sum_{i=1}^n{(p_i-p_i^2)^{3/2}})=1/\sum_{i=1}^n{(p_i-p_i^2)^{1/2}$. (4)

Поэтому, если ряд $\sum_{i=1}^n {(p_i-p_i^2)}$ - расходится ($D_n$ стремится к бесконечности), то для случайной величины $z_n=\sum_{i=1}^n$ на основании (4) выполняется условие (1) центральной предельной теоремы в форме Ляпунова. Поэтому последовательность случайных величин $z_n=\sum_{i=1}^n$ при $n \to \infty$ имеет предельным нормальное распределение.

[vicvolf]

Конечно $z_n=\sum_{i=1}^n{x_i}$.