З-н больши чисел Хинчина

[ihq.pl]

Задача 15 из главы 3, §1, Ширяев, Вероятность-I

Доказать следующую версию закона больших чисел (Хинчин): пусть $X_1,X_2,...$ - попарно независимые одинаково распределенные случайные величины с конечным средним $\mathsf{E} X_1 = m$ и $S_n = X_1+...+X_n$, тогда $S_n/n \xrightarrow{\mathsf{P}} m$.

Попытки. C помощью характеристических функций доказать не получается, потому что случайные величины независимы попарно, а не в совокупности. Если бы выполнялось условие $\mathsf{D}X_j<\infty$, утверждение можно было бы доказать с помощью неравенства Чебышева:

$$\mathsf{P}\Bigl\{\Bigl|\frac{S_n}{n}-m\Bigr| \geqslant \varepsilon\Bigr\} \leqslant \frac{\mathsf{D}X_1}{n\varepsilon^2}.$$

Но не выполняется ни то ни другое. Как еще это можно доказать?

[Combat Zone]

«ЗБЧ Хинчина»

[ihq.pl]

Combat Zone,
Я уже смотрел эту статью, там доказывается усиленный закон больших чисел. В этой же статье есть ссылка на книгу K.L. Chung, в которой доказывается слабый з-н больших чисел. Только что нашел и скачал эту книгу:) Большое спасибо!

[Combat Zone]

ihq.pl
Так усиленный закон сильнее ) разве что вам было интересно, как обойтись более слабыми средствами, и можно ли.

[ihq.pl]

Да, хотелось проще, чем в этой статье. Она хоть и называется "Элементарное доказательство...", но как-то далека от того, что у Ширяева в этом параграфе.