разностная схема

[_Mark_]

$\text{Для уравнения переноса }u_{t}+u_{x}=0\text{ методом сноса по характеристике с интерполяцией решения}$$\text{ на предыдущем слое написать разностную схему на симметричном четырехточечном шаблоне,}$$\text{ используя для этого одну точку на верхнем слое и три на нижнем. методом гармоник выяснить}$$\text{ условие устойчивости схемы, найти порядок аппроксимации.}$

Сначала строим интерполянт:

$\widetilde{x_{i}}=x_{i}-c\tau$
$\widetilde{\widetilde{x_{i}}}=x_{i}+c\tau$
$\check{y}=P_{2}(\widetilde{\widetilde{x_{i}}})=P_{2}(x_{i}+c\tau)$

$x: x_{i-1}, \widetilde{x_{i}}=x_{i}-c\tau, x_{i+1}$
$y: \check{y}_{-1},y,\check{y}_{+1}$
$\Delta_{1}: \frac{y-\check{y}_{-1}}{h-c\tau}, \frac{\check{y}_{+1}-y}{h+c\tau}$
$\Delta_{2}: \frac{1}{2h}(\frac{\check{y}_{+1}-y}{h+c\tau}-\frac{y-\check{y}_{-1}}{h-c\tau})$

$P_{2}(x)=\check{y}_{-1}+\frac{y-\check{y}_{-1}}{h-c\tau}(x-x_{i-1})+\frac{1}{2h}(\frac{\check{y}_{+1}-y}{h+c\tau}-\frac{y-\check{y}_{-1}}{h-c\tau})(x-x_{i-1})(x-x_{i-1}+c\tau)$
$\check{y}=P_{2}(x_{i})=\check{y}_{-1}+\frac{y-\check{y}_{-1}}{h-c\tau}(-h)+\frac{1}{2h}(\frac{\check{y}_{+1}-y}{h+c\tau}-\frac{y-\check{y}_{-1}}{h-c\tau})(-h)c\tau$

$y:-\frac{h}{h-c\tau}+\frac{c\tau}{2}(\frac{1}{h+c\tau}+\frac{1}{h-c\tau})=-\frac{h}{h-c\tau}+hc\tau=h(c\tau-\frac{1}{h-c\tau})$
$\check{y}:-1$
$\check{y}_{+1}:-\frac{c\tau}{2}\frac{1}{h+c\tau}$
$\check{y}_{-1}:1+\frac{h}{h-c\tau}-\frac{c\tau}{2}\frac{1}{h-c\tau}=1+\frac{1}{h-c\tau}(h-\frac{c\tau}{2})$

$-\check{y}+h(c\tau-\frac{1}{h-c\tau})y-\frac{c\tau}{2}\frac{1}{h+c\tau}\check{y}_{+1}+(1+\frac{1}{h-c\tau}(h-\frac{c\tau}{2}))\check{y}_{-1}=0$

Правильно ли я дошел до текущего шага?

[TOTAL]

1. Это трехточечный шаблон (равен размаху по пространству, а не общим количеством задействованных значний)
2. Сначала строится интерполянт по трём узлам: $x_{i-1}, x_i, x_{i+1}$
3. Затем значение в точке, которая определяется шагами сетки по пространству и времени, а также наклону характеристики, равному в данном случае $1$, принимается за искомое значение на "новом" слое по времени

[_Mark_]

Рисунок с пояснениями для моего решения: https://i.postimg.cc/fL2PBVzn/image.png

[TOTAL]

На нижнем слое известны значения функции только в ЦЕЛЫХ узлах. Вот по эти значениям и стройте интерполянт.
Для тренировки сначала постройте схему двухточечную (на нижнем слое).

[_Mark_]

https://i.postimg.cc/MKQL8b3Z/2.png

$x_{i}+h:y_{+1}$
$x_{i}:y$
$x_{i}-h:y_{-1}$
$x_{i}-c\tau:\hat{y}$

$L=y_{i+1}\frac{(x-x_{i})(x-(x_{i}-h))}{h 2h}+y\frac{(x-(x_{i}+h))(x-(x_{i}-h))}{-h h}+y_{-1}\frac{(x-x_{i})(x-(x_{i}+h))}{(-h)(-2h)}$

$\hat{y}=L(x_{i}-c\tau)=y_{+1}\frac{(-c\tau)(-c\tau+h)}{h 2h}+y\frac{(c\tau-h)(h-c\tau)}{h h}+y_{-1}\frac{(-c\tau)(-c\tau-h)}{(-h)(-2h)}$

$\hat{y}=y_{+1}\frac{c\tau(c\tau-h)}{2h^{2}}+y\frac{h^{2}-c^{2}\tau^{2}}{h^{2}}+y_{-1}\frac{c\tau(c\tau+h)}{2h^{2}}$

Правильно ли я дошел до текущего момента?

[TOTAL]

_Mark_ в сообщении #1655556 писал(а):

Правильно ли я дошел до текущего момента?

Формально правильно шли, но лучше так не ходить.
Запишите интерполяционный полином не в форме Лагранжа (как сейчас), а в форме Ньютона. Причём используйте следующий порядок узлов: $x_i, x_{i-1}, x_{i+1}$. Запись в форме Ньютона будет удобнее для ответа на вопросы про порядок аппроксимации и устойчивость.

Кстати, в первом сообщении Вы использовали как раз форму Ньютона (только по каким попало узлам):
$P_{2}(x)=\check{y}_{-1}+\frac{y-\check{y}_{-1}}{h-c\tau}(x-x_{i-1})+\frac{1}{2h}(\frac{\check{y}_{+1}-y}{h+c\tau}-\frac{y-\check{y}_{-1}}{h-c\tau})(x-x_{i-1})(x-x_{i-1}+c\tau)$

И не таскали бы коэффициент $c$, в уравнении этот коэффициент равен единице.
$x_{i}-c\tau:\hat{y}$