2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вывод уравнений Лагранжа из соображений ковариантности
Сообщение20.09.2024, 11:33 


21/12/16
667
Набросок лекции по механике для математиков.

Пусть имеется система материальных точек массами $m_1,\ldots,m_\nu$ заданных в инерциальной системе отсчета радиус-векторами
$$(\boldsymbol r_1,\ldots,\boldsymbol r_\nu)=(x^1,\ldots,x^m)^T=x\in\mathbb{R}^m,\quad m=3\nu.$$
Жирным шрифтом обозначаются векторы физического $\mathbb{R}^3$.
На точки действуют соотвественно силы
$$(\boldsymbol F_1,\ldots,\boldsymbol F_\nu)=(F_1,\ldots,F_m)(x,\dot x).$$
В терминах вариационной производной, система вторых законов Ньютона для каждой точки имеет вид
$$[\mathscr T]=F(x,\dot x), \qquad(1)$$
где $$\mathscr T(x,\dot x)=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^\nu m_k|\boldsymbol{\dot r}_k|^2,\quad
[\mathscr T]=\{[\mathscr T]_s\},\quad [\mathscr T]_s=
\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathscr T}{\partial \dot x^s}-\frac{\partial \mathscr T}{\partial  x^s}.$$
Предположим, что в пространство $\mathbb{R}^m$ вложено $n-$мерное многообразие $Y:$ $$ u:Y\to\mathbb{R}^m,\quad m>n,\quad\Sigma:=u(Y),\quad x=u(y),\quad u_y=\frac{\partial u}{\partial y}.$$
Через $y=(y^1,\ldots,y^n)^T.$ обозначены локальные координаты в $Y$.
Введем обозначения
$$T(y,\dot y)=\mathscr{T}\Big|_{x=u(y)}=\mathscr{T}(u(y),u_y(y)\dot y),\quad V(y,\dot y)=\mathscr{V}\Big|_{x=u(y)}.$$
Предположим, что силы $F$ можно представить в виде суммы обобщенно потенциальных сил -- они заданы, и некоторых сил $N(x,\dot x)$ -- мы будем называть их реакциями идеальных связей:
$$F=[\mathscr V]+N,$$ где $\mathscr V=\mathscr V(x,\dot x)$ -- функция -- обобщенный потенциал.

ТЕОРЕМА 1. Существует вектор-строка $N(x,\dot x)$ такая, что
$$1)\qquad N\Big|_{x=u(y)} u_y=0$$и
2) всякое решение $x(t)$ системы (1) с начальными условиями
$$x(0)\in \Sigma,\quad \dot x(0)\in T_{x(0)}\Sigma\qquad (2)$$
принадлежит $\Sigma$ во все время своего существования: $x(t)\in \Sigma,\quad\forall t.$

ЗАМЕЧАНИЕ. Подстановка $N\Big|_{x=u(y)}$ определена однозначно.


Домножим уравнение (1) на матрицу $u_y:$
$$[\mathscr T]\Big|_{x=u(y)}u_y=[\mathscr V]\Big|_{x=u(y)}u_y+N\Big|_{x=u(y)}u_y.$$
По ковариантности вариационной производной и в силу условия 1) теоремы 1, находим:
$$[ T]=[ V].$$
Остается ввести $L=T-V$ и последнее уравнение приобретает вид
$$[L]=0\qquad (3).$$

ТЕОРЕМА 2. Пусть $y(t)$ -- решение системы (3). Тогда $x(t)=u(y(t))$ -- решение системы (1).
Пусть $x(t)$ -- решение системы (1) с начальными условиями (2) тогда существует и при том единственное решение $y(t)$ системы (3) такое, что $x(t)=u(y(t))$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group