Вывод уравнений Лагранжа из соображений ковариантности

[drzewo]

Набросок лекции по механике для математиков.

Пусть имеется система материальных точек массами $m_1,\ldots,m_\nu$ заданных в инерциальной системе отсчета радиус-векторами

$$(\boldsymbol r_1,\ldots,\boldsymbol r_\nu)=(x^1,\ldots,x^m)^T=x\in\mathbb{R}^m,\quad m=3\nu.$$

Жирным шрифтом обозначаются векторы физического $\mathbb{R}^3$.
На точки действуют соотвественно силы

$$(\boldsymbol F_1,\ldots,\boldsymbol F_\nu)=(F_1,\ldots,F_m)(x,\dot x).$$

В терминах вариационной производной, система вторых законов Ньютона для каждой точки имеет вид

$$[\mathscr T]=F(x,\dot x), \qquad(1)$$

где

$$\mathscr T(x,\dot x)=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^\nu m_k|\boldsymbol{\dot r}_k|^2,\quad [\mathscr T]=\{[\mathscr T]_s\},\quad [\mathscr T]_s= \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathscr T}{\partial \dot x^s}-\frac{\partial \mathscr T}{\partial x^s}.$$

Предположим, что в пространство $\mathbb{R}^m$ вложено $n-$мерное многообразие $Y:$

$$ u:Y\to\mathbb{R}^m,\quad m>n,\quad\Sigma:=u(Y),\quad x=u(y),\quad u_y=\frac{\partial u}{\partial y}.$$

Через $y=(y^1,\ldots,y^n)^T.$ обозначены локальные координаты в $Y$.
Введем обозначения

$$T(y,\dot y)=\mathscr{T}\Big|_{x=u(y)}=\mathscr{T}(u(y),u_y(y)\dot y),\quad V(y,\dot y)=\mathscr{V}\Big|_{x=u(y)}.$$

Предположим, что силы $F$ можно представить в виде суммы обобщенно потенциальных сил -- они заданы, и некоторых сил $N(x,\dot x)$ -- мы будем называть их реакциями идеальных связей:

$$F=[\mathscr V]+N,$$

где $\mathscr V=\mathscr V(x,\dot x)$ -- функция -- обобщенный потенциал.

ТЕОРЕМА 1. Существует вектор-строка $N(x,\dot x)$ такая, что

$$1)\qquad N\Big|_{x=u(y)} u_y=0$$

и
2) всякое решение $x(t)$ системы (1) с начальными условиями

$$x(0)\in \Sigma,\quad \dot x(0)\in T_{x(0)}\Sigma\qquad (2)$$

принадлежит $\Sigma$ во все время своего существования: $x(t)\in \Sigma,\quad\forall t.$
ЗАМЕЧАНИЕ. Подстановка $N\Big|_{x=u(y)}$ определена однозначно.


Домножим уравнение (1) на матрицу $u_y:$

$$[\mathscr T]\Big|_{x=u(y)}u_y=[\mathscr V]\Big|_{x=u(y)}u_y+N\Big|_{x=u(y)}u_y.$$

По ковариантности вариационной производной и в силу условия 1) теоремы 1, находим:

$$[ T]=[ V].$$

Остается ввести $L=T-V$ и последнее уравнение приобретает вид

$$[L]=0\qquad (3).$$

ТЕОРЕМА 2. Пусть $y(t)$ -- решение системы (3). Тогда $x(t)=u(y(t))$ -- решение системы (1).
Пусть $x(t)$ -- решение системы (1) с начальными условиями (2) тогда существует и при том единственное решение $y(t)$ системы (3) такое, что $x(t)=u(y(t))$.