Оценка и среднее гармоническое.

[integ]

Сможете помочь разобраться, пожалуйста?

Задача

Цитата:

Доказать, что при $a_1, a_2, \ldots, a_n > 0$ верно неравенство:
$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{\left( a_1 + a_2 + \ldots + a_n \right) - a_i} \geqslant \frac{n}{n-1}.$

Перепишем выражение суммы:
$S = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{\displaystyle\sum_{j \neq i} a_j} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{A - a_i},$
где $A = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$.

Нам нужно доказать, что:

$S \geqslant \dfrac{n}{n-1}.$

Для $ n $ положительных чисел $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ среднее арифметическое и среднее гармоническое связаны следующим образом:

$\dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \geq \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}}$

Тогда ${x_1 + x_2 + \ldots + x_n} \geq \frac{n^2}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}}$

$S =\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{A - a_i}\ge \dfrac{n^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{A-a_i}{a_i}}=\dfrac{n^2}{A\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}-n}$

Дальше очень хочется применить еще раз это неравенство

$\dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \geq \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \ldots + \frac{1}{x_n}}$

для $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i}$

И тогда получим ровно то, что требуется. Но знак неравенства будет не в ту сторону... Может я что-то не так делаю?

$\dfrac{n^2}{A\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}-n}\le \dfrac{n^2}{A\frac{n^2}{A}-n}=\dfrac{n}{n-1}$

То есть вот это знак неравенства стоит не в ту сторону.

[lel0lel]

Все выкладки верные, только оценка получилась не очень информативная. Что-то вроде $S>x,$ где $x<1$.
Попробуйте так:
$S =\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{A-A+a_i}{A - a_i}=A\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{A - a_i}-n$

[integ]

Спасибо большое, все получилось!