Две выборки размера из одной генеральной совокупности

[TToMo7uTe]

Две выборки размера $n_1$ и $n_2$ из одной генеральной совокупности со средним $\mu$ и дисперсией $\omega^2$. Пусть $m_1, m_2, s_1^2, s_2^2$ несмещенные оценки мат. ожиданий и дисперсий определенные по выборкам. Доказать, что объединенные оценки будут несмещенными:
$\hat{m} = \frac{n_1 m_1 + n_2 m_2}{n_1 + n_2}$

Подскажите, как это решить? Целый денб убил так и не получилось ничего. Теоремы о применении ЗБЧ тут как будто не применимы. Пробовал по определению доказать, но каждый раз упирался в оценку второго центрального момента. А так дисперсии нет ее оценить не получается никак.

[Combat Zone]

У вас задание формата "доказать, что", а не "придумать несмещенную оценку". И предлагается только оценка матожидания. Оценки дисперсии тут нет. Можно придумывать, конечно, но доказывать про нее нечего.

Оценка матожидания - какой ЗБЧ, речь ведь о несмещенности. По определению.

[TToMo7uTe]

Забыл дописать, нужно состоятельность доказать.

[dubov]

$E(\frac{n1m1+n2m2}{n1+n2}-\mu)=E\frac{n1}{n1+n2}m1+E\frac{n2}{n1+n2}m2-E\frac{n1}{n1+n2}\mu-E\frac{n2}{n1+n2}\mu=E\frac{n1}{n1+n2}(m1-\mu)+E\frac{n2}{n1+n2}(m2-\mu)=0+0$
т.к. m1 и m2 несмещённые.

[Combat Zone]

TToMo7uTe в сообщении #1654683 писал(а):

Забыл дописать, нужно состоятельность доказать.

Кому нужно? Тут принято приводить попытки решения. Что вы делали?

[TToMo7uTe]

В задаче нужно. Попытки я уже описал.

[Combat Zone]

Так делали-то что? ) "Целый день" это не описание.
А потом оказывается, что задача решается в одну строку.
Что вы знаете о состоятельности, какие свойства? Определение, может. Хоть что-то.

[Евгений Машеров]

Дисперсия тут пригодилась бы, поскольку
$если оценка асимптотически несмещенная и её дисперсия стремится к нулю, то такая оценка будет состоятельной.$
Несмещённость, даже не асимптотическая, доказана выше.

[Евгений Машеров]

Отчего-то цитата не вставилась

Цитата:

если оценка асимптотически несмещенная и её дисперсия стремится к нулю, то такая оценка будет состоятельной.

[TToMo7uTe]

Combat Zone в сообщении #1654691 писал(а):

Так делали-то что? ) "Целый день" это не описание.
А потом оказывается, что задача решается в одну строку.
Что вы знаете о состоятельности, какие свойства? Определение, может. Хоть что-то.

А там после "Целый день" еще текст есть. Несмещенность и я сам в одну строку доказал.

Нужно доказать, что $\forall \varepsilon > 0 \ \forall \delta > 0 \ \exists N > 0: \forall n > N \ P\{|\hat{m_n} - m| < \varepsilon\} \geq 1 - \delta$

Самое простое попытаться оценить с помощью неравенства Чебышева, но тогда не удается оценить дисперсию $\hat{m}$.

Пробовал еще так
$|\hat{m} - m| \leq c_1|m_1-m| + c_2|m_2 - m| \leq c_1|m_1| + c_2|m_2| + 2|m|$

$P\{|\hat{m} - m| < \varepsilon\} \geq 1 - (P\{c_1|m_1-m| \geq \frac{\varepsilon}{2}\} + P\{c_2|m_2-m| \geq \frac{\varepsilon}{2}\})$
Дальше использовал неравенство Маркова, но там возникает или $M[|m_1|]$ или $M[|m_1 - m|]$, которое оценить тоже не получается

[Combat Zone]

TToMo7uTe
Ладно, что-то делали. Свойства состоятельности, правда, не вспомнили. (Я тоже что-то пишу, помимо того, что вы замечаете. :) Состоятельность - сходимость по вероятности. Если вам удалось доказать, вы уверяете, несмещенность, так ведь вы видите, что ничего, кроме линейности, там не используется. Но состоятельность тоже линейна. Неужели такой прямой ход прошел мимо вас?

[TToMo7uTe]

Combat Zone в сообщении #1654771 писал(а):

TToMo7uTe
Ладно, что-то делали. Свойства состоятельности, правда, не вспомнили. (Я тоже что-то пишу, помимо того, что вы замечаете. :) Состоятельность - сходимость по вероятности. Если вам удалось доказать, вы уверяете, несмещенность, так ведь вы видите, что ничего, кроме линейности, там не используется. Но состоятельность тоже линейна. Неужели такой прямой ход прошел мимо вас?

Так ведь не дано, что оценки $m_1, m_2$ состоятельны. То, что сходимость по вероятности линейна, я знаю. Это просто из свойств предела следует.

[Combat Zone]

Вот даже как. А можно полную формулировку задачи увидеть? В оригинале.

[TToMo7uTe]

Combat Zone в сообщении #1654773 писал(а):

Вот даже как. А можно полную формулировку задачи увидеть? В оригинале.

Рассмотрим две выборки объемов $n_1$ и $n_2$ из одной генеральной совокупности со средним $\mu$ и дисперсией $\sigma^2$. Пусть $m_1$ и $m_2$, $s_1^2$ и $s_2^2$ - несмещенные оценки математических ожиданий и дисперсий, определенных по выборкам. Докажите, что объединенные оценки, вычисленные по формулам
$\hat{m} = \frac{n_1m_1 + n_2m_2}{n_1 + n_2}$,
$\hat{s}^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$
будут несмещенными и состоятельными оценками $\mu $ и $\sigma^2$

[Combat Zone]

Нет, состоятельность должна быть среди условий на оценки коротких выборок. Иначе ничего не получится.

Пример:
$m_1=(2x_1+3x_2)/5$
$m_2=(7x_3+3x_4)/10$
обе несмещенные. Но поскольку они индифферентны к поведению "хвостов выборок", каждая из них несостоятельна. По той же причине объединенная оценка тоже.