Матожидание квадратичного преобразования случайного процесса

[Yuri Matveev]

Квадратичное инвариантное во времени преобразование случайного процесса $x(t)$:
$z(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} K(t_1,t_2) \overline{x(t-t_1)}x(t-t_2) dt_1 dt_2$
$x(t)$ - циклостационарный случайный процесс, т.е. процесс для корреляционной функции которого справедливо представление $R(t, \tau) \overset{\Delta}{=}\left\langle \overline{x(t)} x(t+\tau) \right\rangle = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} R_n(\tau) \exp(\frac{\boldsymbol{j} 2 \pi n t}{T})$,
$\overline{K(t_1, t_2)} = K(t_2, t_1)$.

Определить, какими свойствами должно обладать ядро $K(t_1, t_2)$, чтобы матожидание процесса на выходе
$\left\langle z(t)\right\rangle = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} K(t_1,t_2) \left\langle\overline{x(t-t_1)}x(t-t_2)\right\rangle dt_1 dt_2=$
$=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} K(t_1,t_2) \rho(t-t_1, t-t_2) dt_1 dt_2$
было равно нулю.

[Alex Krylov]

Вот вам пример...

Возьмем два Фурье-фильтра с расстройкой $\pm\Delta\omega$ относительно нуля. Импульсные характеристики этих фильтров:
$h_R(t) = rect(\frac{t-T/2}{T})\exp(+\boldsymbol{j} \Delta \omega t)$
$h_L(t) = rect(\frac{t-T/2}{T})\exp(-\boldsymbol{j} \Delta \omega t)$

Пусть $s(t)$ - входной сигнал. Над сигналом будем выполнять следующую операцию:
$z(t)=\left\lvert \overline{h_R(t)} \ast s(t) \right\rvert^2 - \left\lvert \overline{h_L(t)} \ast s(t) \right\rvert^2$
Здесь $\ast$ - символ свертки. Всё это можно переписать через упомянутую вами двумерную свертку. Т.е. это именно ваш случай, а не что-то, взятое "от балды".

Если $s(t)$ - вещественный сигнал, т.е. у него симметричный относительно нуля спектр, то z(t) будет тождественно равен нулю ($\left\langle z(t)\right\rangle = 0$ почти наверное).
Если теперь считать, что $s(t)$ - (комплекснозначный) случайный процесс, то если у этого процесса чисто вещественная корреляционная функция, то $\left\langle z(t)\right\rangle$ будет равно нулю.

[Alex Krylov]

Правда, до конца не совсем понятно, какова цель всего этого. Оставаясь в рамках заданного вами "квадратичного преобоазования" условный "ноль на выходе" можно получить и совсем тривиальным способом, типа $s(t_1)\overline{s(t_2)}-\overline{s(t_1)}s(t_2)$