2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Наименьшие квадраты на сдвинутых и не переодических функциях
Сообщение11.09.2024, 18:34 


23/02/23
116
Пусть для $t \in [0, T]$ даны
набор измеряемых сигналов $f_1(t), ..., f_N(t)$
и некоторые числа $h>0$ и целое $D$, причем $Dh$ много меньше $T$.
Также предположим, что по $t$ - у нас есть какая-то дискретизация, для простоты, возьмем ее с тем же шагом $h$.

Необходимо найти
набор неизвестных сигналов $p_1(t), ..., p_K(t)$
и весовые коэффициенты $b_{d,n,k}$
что
$$\min_{b_{d,n,k}, p_k} \sum_{n=1}^N \left[ \int_0^{T-Dh} ||f_n(t) - \sum_{d=1}^D \sum_{k=1}^K b_{d,n,k} p_k(t+hd) ||_2^2 dt +
  \lambda \sum_{d=1}^D \sum_{k=1}^K b_{d,n,k}^2 \right].$$

Здесь $\lambda$ - что-то на подобие Тихоновского регуляризатора.

В более общем случае $D$ желательно также найти из выше минимизируемой невязки.

Я понимаю, что метод покомпонентной минимизации, когда мы фиксируем $b$ и ищем минимум по $p$, и наоборот, будет монотонно сходиться, но хочется какого-то красивого решения, с лучшей сходимостью и с какими-то доказуемыми свойствами. Сделать Фурье - не получится, функции в общем случае не периодичные.

В какую сторону копать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшие квадраты на сдвинутых и не переодических функциях
Сообщение12.09.2024, 12:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Наивно-эмпирическое предложение.
При $D=1$ главные компоненты напрашиваются. При $D>1$ дополняем матрицу F сдвинутыми на шаг, два, три... значениями функций и считаем ГК. Затем из $f_n$ делаем вектор-регрессанд, пристыковав вектора последовательно и последовательно же состыковав матрицы полученных главных компонент. И пошаговой регрессией отбираем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшие квадраты на сдвинутых и не переодических функциях
Сообщение13.09.2024, 13:22 


23/02/23
116
Евгений Машеров в сообщении #1654358 писал(а):
При $D=1$ главные компоненты напрашиваются.

спасибо большое! Да, единственно возможное решение, согласен

Евгений Машеров в сообщении #1654358 писал(а):
При $D>1$ дополняем матрицу F сдвинутыми на шаг, два, три... значениями функций и считаем ГК.


тут я, каюсь, всех запутал, так как на $D$ у меня сверху обычно есть оценка, и она обычно - порядка тысячи, а вот вместо

Цитата:
В более общем случае $D$ желательно также найти из выше минимизируемой невязки.

я хотел написать
В более общем случае $K$ желательно также найти из выше минимизируемой невязки.


Про размеры...

Исходные данные из $f$ поступают непрерывно в виде оцифрованных данных, грубо говоря $T=0.1$, $h=10^{-5}$, $D=10^3$, $N=200$, в то же время, ожидаемое значение $K$ должно быть довольно не большим, почти всегда оно равно точно 4 (меньше не будет никогда), и иногда оно бывает больше, наверное может доходить до 20.

Хочется не только решать эту задачу разово, но и для поступающих данных получать решение, то есть $p$ как если бы из 200 входных функций $f$ мы получали бы эти самые $p$. Про вычисляемые коэффициенты $b$ - они тоже во времени меняются, но, как я понимаю, должны меняться еще реже.

-- 13.09.2024, 13:31 --

Евгений Машеров в сообщении #1654358 писал(а):
Затем из $f_n$ делаем вектор-регрессанд, пристыковав вектора последовательно и последовательно же состыковав матрицы полученных главных компонент. И пошаговой регрессией отбираем.

а вот тут я немного не понял. Поправьте, пожалуйста, так ли вы хотели:

пусть главные компоненты у исходной матрицы и всех ее сдвинутых вариантов сохранены в $u_l(t)$.

Правильно ли я понял, что Вы предлагаете сделать новую функцию, которая
при $t \in [0,T]$: $f(t)$, а
при $t \in [T,2T]$: $u(t-T)$.

Но зачем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Наименьшие квадраты на сдвинутых и не переодических функциях
Сообщение13.09.2024, 19:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
Нет. Я имел в виду регрессию вектора y на матрицу X, при этом $y(i+Nn)=f_n(i)$, N - число отсчётов в оцифровке функции $f_n(t)$, а матрица X образована повторением набора главных компонент.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group