Зачем у ЛЛ запись символов Кристоффеля с тремя нижними индексами делается, через запятую, т.е.

?
Чтобы не перепутать какой индекс был верхним, а какие нижними.
Если запятую не писать, то что будет не так?
Забудете какой индекс что означает. Например, по каким индексам

симметричен -- по первым двум или последним двум?
Эта запятая к дифференциированию не имеет же отношения в этом случае?
Не имеет