задача про интервалы

[maxmatem]

Существует ли такой набор интервалов $I$, лежащих в интервале $(0;1)$, что каждая рациональная точка интервала $(0;1)$ принадлежит конечному числу интервалов из $I$ , а каждая иррациональная точка этого отрезка - бесконечному числу интервалов из $I$.

(Оффтоп)

Существует стандартный подход к построению данного набора. Хотелось бы посмотреть на другие возможные варианты построения этих интервалов

[Padawan]

$$ I=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcup_{i=1}^{n!}\left(\frac{i-1}{n! }, \frac{i}{n! }\right) $$

[maxmatem]

Padawan