Гомоморфизм для чайников

[Vasily2024]

Вот что нашел в интернете (любой может легко найти):
"...очень важный момент: существует общая (абстрактная) теория гомоморфизма групп, но частные примеры всегда конкретны: гомоморфизм задаётся между конкретными группами конкретной функцией."

К сожалению ссылок на литературу там нет.
Возможно здесь используют устаревшие понятия. Тогда каким образом выразить ту же мысль, но современным языком.

[Mikhail_K]

Vasily2024 в сообщении #1652498 писал(а):

Тогда каким образом выразить ту же мысль, но современным языком.

Такую мысль не надо выражать современным языком. Возможно, она может чем-то помочь на этапе обучения, но вообще говоря эта мысль просто неверная (или невнятная), и зацикливаться на ней не стоит.

[Vasily2024]

Спасибо за исчерпывающий ответ!

А такой вариант будет понятен алгебраистам?

Пусть существует изоморфизм группы $(A, +)$ в группу действительных чисел.
С точки зрения алгебры это две изоморфные группы, которые можно не различать.

Но если считать, что группа действительных чисел является моделью группы $(A, +)$,
то различие между группами может быть существенным. В группе $(A, +)$ правило суммирования не определено в явном виде,
а в группе действительных чисел задано в явном виде. Следовательно модель может быть не адекватна оригиналу.

[dgwuqtj]

Я алгебраист и мне непонятно. А именно, фразы "правило суммирования не определено" и "не адекватна оригиналу".

[Vasily2024]

dgwuqtj в сообщении #1652525 писал(а):

"правило суммирования не определено

имеется ввиду не определено в явном виде.

dgwuqtj в сообщении #1652525 писал(а):

"не адекватна оригиналу".

не соответствует оригиналу означает, что группа-оригинал отличается от группы-модель.

[dgwuqtj]

Ну, тогда это формально даже и неверно, мы же не знаем, что это за $A$ такое. Оно могло случайно совпасть с $\mathbb R$. Если дополнительно предположить, что это всё-таки не $\mathbb R$, то "не адекватность" очевидна.

[Vasily2024]

dgwuqtj в сообщении #1652531 писал(а):

Оно могло случайно совпасть с $\mathbb R$.

Могло совпасть, но операция на $\mathbb R$ по условию не определена в явном виде.
Различие должно быть существенным.
Существенное различие это когда

Vasily2024 в сообщении #1652522 писал(а):

В группе $(A, +)$ правило суммирования не определено в явном виде,
а в группе действительных чисел задано в явном виде.

[dgwuqtj]

Так "не определена в явном виде" означает, что у нас для неё формулы не было раньше написано. Мало ли, вдруг она случайно совпала с чем-то известным. Поэтому и надо делать оговорку, что точно не совпало.

[Vasily2024]

dgwuqtj в сообщении #1652536 писал(а):

Поэтому и надо делать оговорку, что точно не совпало.

Хорошо. Замечание принято. Различие может быть существенным.