Пара задач по теории групп

[abacaba]

1) G - группа; a,b,c \in G. a=bc=cb. b^p=c, c^q=b, НОД(p,q)=1.
Доказать, что \exists s,t: НОД(s,t)=1, b=a^s, c=a^t.
2) Доказать: \mathbb{R}^+ \not\cong \mathbb{C}^*

[AD]

2. Достаточно проанализировать встречающиеся порядки элементов, если я правильно понял обозначения.

[abacaba]

Хм... и действительно! Там же корни из единицы. Спасибо, AD.

[ИСН]

Первое утверждение неверно. Там не у тех надо было документы (то бишь НОД) спрашивать. А так - ну, возьмите за b и c какие-нибудь хорошие корни 10-й степени из 1. Степенями друг друга - являются, коммутировать - тоже на здоровье...

[abacaba]

ИСН, можно поподробнее, пожалуйста? Во-первых, у кого же тогда спрашивать эти самые "документы"? А во-вторых, откуда в группе G возьмутся корни из единицы, тем более 10 степени, тем более хорошие?

[ИСН]

У кого документы спрашивать - Ваша задача, Вы и решайте. А я имел в виду, ну, пусть $b=e^{2\pi i\over 10}$, $c=b^3$. Надо ли добавить к этому ещё хоть слово?..

[ddn]

abacaba писал(а):

1) G - группа; a,b,c \in G. a=bc=cb. b^p=c, c^q=b, НОД(p,q)=1.
Доказать, что \exists s,t: НОД(s,t)=1, b=a^s, c=a^t.
2) Доказать: \mathbb{R}^+ \not\cong \mathbb{C}^*

1) $ac=(cb)c=c(bc)=c(cb)=ca$, аналогично $ab=ba$.

$b=c^q=b^{pq}$, $b^{pq-1}=e$, аналогично $c^{pq-1}=e$.
$a=bc=b^{p+1}=c^{q+1}$, необходимо $s(p+1)\mod (pq-1)=1$ и $t(q+1)\mod (pq-1)=1$.
Без $nod(p+1,pq-1)=1$ и $nod(q+1,pq-1)=1$ нельзя доказать даже существования $s$ и $t$, не то что их взаимную простоту.

Пример: $p=3$, $q=5$ и $b^0,...,b^i,...,b^{pq-2}$ - все разные,
то $pq-1=14$, $nod(p+1,pq-1)=2$, $nod(q+1,pq-1)=2$ и не существуют $s$ и $t$.

[abacaba]

Ага, понятно. Ну, значит, в условии ошибка. Я тут вспомнил, что в каком-то сборнике (Кострикина, что ли) видел почти такую же задачку, только там было b^p=c^q=e... Вероятно, здесь имелось в виду то же самое.
В любом случае, спасибо, что разъяснили.